25-26-2-数学分析（下）-期末（元班）

一、填空题（每小题3分，共30分）

  1. lim⁡(x,y)→(0,π)(1+sin⁡xy)yx=\lim_{(x,y) \to (0,\pi)} (1 + \sin xy)^{\frac{y}{x}} = 【暂无答案】

  2. 设 z=z(x,y)z = z(x,y) 由方程 sin⁡x+y+z=ez\sin x + y + z = e^z 确定，则 ∂z∂x=\frac{\partial z}{\partial x} = 【暂无答案】

  3. 曲线 x=∫0teucos⁡udu, y=2sin⁡t+cos⁡t, z=1+e3tx = \int_{0}^{t} e^u \cos u \mathrm{d}u,\ y = 2 \sin t + \cos t,\ z = 1 + e^{3t} 在 t=0t = 0 处的切线方程为 【暂无答案】

  4. 幂级数 ∑n=0∞an(x+1)n\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x+1)^n 在 x=3x = 3 处条件收敛，则幂级数 ∑n=1∞nanx2n\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{2n} 的收敛区间为 【暂无答案】

  5. 设 F(t)=∫tt2e−txxdxF(t) = \int_{t}^{t^2} \frac{e^{-tx}}{x} \mathrm{d}x，则 F′(t)=F'(t) = 【暂无答案】

  6. 向量场 A⃗=−x3zi+(x3+2y2)j+(x+z2)k\vec{A} = -x^3z \mathbf{i} + (x^3 + 2y^2) \mathbf{j} + (x + z^2) \mathbf{k} 在点 (1,2,1)(1,2,1) 处的散度 divA⃗=\mathrm{div}\vec{A} = 【暂无答案】

  7. 级数 ∑n=0∞(−1)n2n(2n+1)!\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{2n}{(2n+1)!} 的和为 【暂无答案】

  8. 设 z=f(x,xy)z = f(x,xy)，其中 ff 对各变量具有二阶连续偏导数，则 ∂2z∂x∂y=\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = 【暂无答案】

  9. 设 LL 是逆时针圆周 x2+y2=1x^2 + y^2 = 1，则 ∮Lxdy−ydxx2+y2=\oint_L \frac{x \mathrm{d}y - y \mathrm{d}x}{\sqrt{x^2 + y^2}} = 【暂无答案】

  10. 设 LL 是球面 x2+y2+z2=a2 (a>0)x^2 + y^2 + z^2 = a^2 \ (a > 0) 被平面 x+y+z=0x + y + z = 0 所截的曲线，则 ∮L(x+y+1)2ds=\oint_L (x + y + 1)^2 \mathrm{d}s = 【暂无答案】

二、（本题8分）

设 x+2y−2z=dx + 2y - 2z = d 是过曲面 x2+2y2+4z2=4x^2 + 2y^2 + 4z^2 = 4 上的点的平面方程，求 dd 的最大值和最小值。

三、（本题10分）

设 f(x)f(x) 是以 2π2\pi 为周期的函数，且 f(x)={−1,−π<x<0,1,0≤x<π,f(x) = \begin{cases} -1, & -\pi < x < 0, \\ 1, & 0 \leq x < \pi, \end{cases} 将 f(x)f(x) 展开成傅里叶级数，并利用所得结果求级数 ∑n=1∞(−1)n−12n−1\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2n-1} 的和。

四、（本题10分）

求幂级数 ∑n=1∞(−1)nx2n+1n(2n−1)\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{n(2n-1)} 的收敛域及和函数。

五、（本题10分）

计算 I=∬Σax dy∧dz+(z+a)2 dx∧dyI = \iint_{\Sigma} ax \, \mathrm{d}y \wedge \mathrm{d}z + (z + a)^2 \, \mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y，其中 Σ\Sigma 为下半球面 z=−a2−x2−y2z = -\sqrt{a^2 - x^2 - y^2} 的上侧，aa 为大于零的常数。

六、（本题12分）

设 Ω\Omega 是曲面 z=x2+y2z = \sqrt{x^2 + y^2} 与 z=2−x2−y2z = 2 - x^2 - y^2 所围的立体，求 Ω\Omega 的体积与表面积。

七、（本题12分）

设函数 f(x,y)f(x,y) 有连续偏导数，曲线积分 ∫Cf(x,y)dx+2xy dy\int_C f(x,y) \mathrm{d}x + 2xy \, \mathrm{d}y 与路径无关，且 ∫(0,0)(t,1)f(x,y)dx+2xy dy=∫(0,0)(1,t)f(x,y)dx+2xy dy,\int_{(0,0)}^{(t,1)} f(x,y) \mathrm{d}x + 2xy \, \mathrm{d}y = \int_{(0,0)}^{(1,t)} f(x,y) \mathrm{d}x + 2xy \, \mathrm{d}y, 求函数 f(x,y)f(x,y)。

八、（本题8分）

设 an>0, (n=1,2,⋯ ), lim⁡n→∞n(anan+1−1)=λ>0a_n > 0, \ (n = 1,2,\cdots),\ \lim_{n \to \infty} n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} - 1 \right) = \lambda > 0，证明：级数 ∑n=1∞(−1)n−1an\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} a_n 收敛。

九、（本题10分，附加题）

设 DD 是有界闭区域，∂D\partial D 为 DD 的边界，u(x,y)u(x,y) 在 DD 上有连续偏导数，∂u∂x+∂u∂y=u\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} = u，且 u∣∂D=0u|_{\partial D} = 0，证明：在 DD 上 u(x,y)≡0u(x,y) \equiv 0。