25-26-2-大学物理B（上）-期末

一、选择题（每题 3 分，共 60 分）

质点沿半径为 $R$ 的圆周作匀速率运动，每 $t$ 秒转一圈，在 $2t$ 时间间隔中，其平均速度大小与平均速率大小分别为 ( )

\dfrac{2\pi R}{t},\ \dfrac{2\pi R}{t}

0,\ \dfrac{2\pi R}{t}

0,\ 0

\dfrac{2\pi R}{t},\ 0

一运动质点在某瞬时位于矢径 $\vec r(x,y)$ 的端点处，其速度大小为 ( )

\dfrac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}

\dfrac{\mathrm{d}\vec r}{\mathrm{d}t}

\dfrac{\mathrm{d}|\vec r|}{\mathrm{d}t}

\sqrt{\left(\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)^2+\left(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)^2}

一小球沿斜面向上运动，其运动方程为 $S=5+4t-t^2$ ，则小球运动到最高点的时刻是 ( )

t=4\,\mathrm{s}

t=2\,\mathrm{s}

t=8\,\mathrm{s}

t=5\,\mathrm{s}

速度为 $v$ 的子弹，刚好打穿一块不动的木板后速度变为零，设木板对子弹的阻力是恒定的。那么，当子弹射入木板的深度等于其厚度的一半时，子弹的速度是 ( )

\dfrac14v

\dfrac13v

\dfrac12v

\dfrac{1}{\sqrt2}v

人造地球卫星绕地球作椭圆轨道运动，卫星轨道近地点和远地点分别为 $A$ 和 $B$ 。用 $L$ 和 $E_K$ 分别表示卫星对地心的角动量及其动能的瞬时值，则应有 ( )

L_A>L_B,\ E_{KA}>E_{KB}

L_A=L_B,\ E_{KA}<E_{KB}

L_A=L_B,\ E_{KA}>E_{KB}

L_A<L_B,\ E_{KA}<E_{KB}

在光滑水平面上放置由质量 $m$ 、 $M$ 两物体组成的系统，该系统水平方向不受任何外力作用。两物体间相互作用力大小恒为 $F$ ，假设初始时两物体均静止，之后 $m$ 获得相对地面向右的加速度 $a_1$ ， $M$ 获得相对地面向左的加速度 $a_2$ ，下列关系式正确的是 ( )

ma_1=Ma_2

，系统质心加速度

a_C\ne0

ma_1=Ma_2

，系统质心加速度

a_C=0

ma_1+Ma_2=F

，系统质心加速度

a_C=0

ma_1=Ma_2+F

，系统质心加速度

a_C\ne0

如图 1 所示，质量为 $m$ 的质点，以不变速率 $v$ 沿图中正三角形 $ABC$ 的水平光滑轨道运动。质点越过 $A$ 角时，轨道作用于质点的冲量的大小为 ( )

mv

\sqrt2mv

\sqrt3mv

2mv

一根长为 $L$ 、质量为 $m$ 的匀质细杆，可绕一端的水平固定轴无摩擦转动。细杆与竖直向下方向成角 $\theta$ ，此时细杆在重力作用下的角加速度大小为 ( )

\dfrac{g}{L}\sin\theta

\dfrac{3g}{L}\sin\theta

\dfrac{3g}{2L}\sin\theta

\dfrac{2g}{3L}\sin\theta

某刚体绕定轴转动，所受力矩随角位移变化为 $M=M_0+k\theta$ ，若刚体从 $\theta_1$ 转到 $\theta_2$ ，则该力矩所做的功为 ( )

M_0(\theta_2-\theta_1)+\dfrac12k(\theta_2^2-\theta_1^2)

M_0(\theta_2-\theta_1)+k(\theta_2-\theta_1)

\dfrac12M_0(\theta_2^2-\theta_1^2)+k(\theta_2-\theta_1)

(M_0+k\theta_2)(\theta_2-\theta_1)

一个人站在无摩擦转台上，系统绕竖直固定轴转动。人收拢手臂后，系统转动惯量减小。忽略外力矩，下列说法正确的是 ( )

角速度不变，转动动能不变

角动量增大，转动动能不变

角速度减小，角动量不变

角速度增大，角动量不变

宇宙飞船相对于地面以速度 $v$ 作匀速直线飞行，某一时刻飞船头部的宇航员向飞船尾部发出一个光讯号，经过 $\Delta t$ （飞船上的钟）时间后，被尾部的接收器收到，则由此可知飞船的固有长度为（ $c$ 表示真空中光速）( )

c\Delta t

v\Delta t

\dfrac{c\Delta t}{\sqrt{1-v^2/c^2}}

c\Delta t\sqrt{1-v^2/c^2}

有下列几种说法：（1）所有惯性系对物理基本规律都是等价的；（2）在真空中，光的速度与光的频率、光源的运动状态无关；（3）在任何惯性系中，光在真空中沿任何方向的传播速率都相同。若问其中哪些说法是正确的，答案是 ( )

只有（1）、（2）是正确的

只有（1）、（3）是正确的

只有（2）、（3）是正确的

三种说法都是正确的

在某地发生两件事，静止位于该地的甲测得时间间隔为 $4\,\mathrm{s}$ ，若相对于甲作匀速直线运动的乙测得时间间隔为 $5\,\mathrm{s}$ ，则乙相对于甲的运动速度是（ $c$ 表示真空中光速）( )

0.8c

0.6c

0.4c

0.2c

已知电子的静能为 $0.51\,\mathrm{MeV}$ ，若电子的动能为 $0.25\,\mathrm{MeV}$ ，则它所增加的质量 $\Delta m$ 与静止质量 $m_0$ 的比值近似为 ( )

0.9

0.5

0.2

0.1

在一密闭容器中，储有 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三种理想气体，处于平衡状态。 $A$ 种气体的分子数密度为 $n_1$ ，它产生的压强为 $p_1$ ， $B$ 种气体的分子数密度为 $2n_1$ ， $C$ 种气体的分子数密度为 $3n_1$ ，则混合气体的压强 $p$ 为 ( )

3p_1

4p_1

5p_1

6p_1

在体积为 $4\times10^{-3}\,\mathrm{m^3}$ 的容器中，装有压强为 $5\times10^2\,\mathrm{Pa}$ 的理想气体，则容器中气体分子的平动动能总和为 ( )

2\,\mathrm{J}

3\,\mathrm{J}

5\,\mathrm{J}

9\,\mathrm{J}

一容器内装有 $N_1$ 个单原子理想气体分子和 $N_2$ 个刚性双原子理想气体分子，当该系统处在温度为 $T$ 的平衡态时，其内能为 ( )

(N_1+N_2)\left(\dfrac32kT+\dfrac52kT\right)

\dfrac12(N_1+N_2)\left(\dfrac32kT+\dfrac52kT\right)

N_1\dfrac32kT+N_2\dfrac52kT

N_1\dfrac52kT+N_2\dfrac32kT

一定量理想气体，从同一初态出发，体积由 $V_1$ 膨胀到 $V_2$ ，分别经历三种过程：（1）等压；（2）等温；（3）绝热。其中吸收热量最多的是 ( )

等压

等温

绝热

无法判断

某理想气体分别经过图 2 所示的两个卡诺循环，即 $I(abcd)$ 和 $II(a'b'c'd')$ ，且两条循环曲线所围面积相等。设循环 $I$ 的效率为 $\eta$ ，每次循环在高温热源处吸收的热量为 $Q$ ，循环 $II$ 的效率为 $\eta'$ ，每次循环在高温热源处吸收的热量为 $Q'$ ，则 ( )

\eta<\eta',\ Q>Q'

\eta<\eta',\ Q<Q'

\eta>\eta',\ Q<Q'

\eta>\eta',\ Q>Q'

如图 3 所示，若在某个过程中，一定量的理想气体的热力学能（内能） $U$ 随压强的变化关系为一直线（其延长线过 $U-p$ 图的原点），则该过程为 ( )

等容过程

等压过程

等温过程

绝热过程

二、计算题（共 40 分）

21.（10 分）

光滑水平地面上放置一个质量为 $M$ 、半径为 $R$ 的四分之一光滑圆弧滑槽。现将一质量为 $m$ 的小滑块从滑槽顶端由静止释放，滑块沿滑槽下滑，忽略一切摩擦与空气阻力，重力加速度为 $g$ 。试求：

滑块滑至滑槽最低点时，滑块相对地面的速度大小 $v_1$ 与滑槽相对地面的速度大小 $v_2$ ；
滑块在最低点时相对滑槽的速度大小 $u$ ；
滑块在最低点时，滑槽对滑块的支持力 $N$ 。

答案 / 解析

（1）

水平动量守恒：

mv_1 = Mv_2

机械能守恒：

mgR = \frac12 mv_1^2 + \frac12 Mv_2^2

联立解得：

v_1 = \sqrt{\frac{2MgR}{M+m}},\qquad v_2 = m\sqrt{\frac{2gR}{M(M+m)}}

（2）

u = v_1 + v_2 = \sqrt{\frac{2(M+m)gR}{M}}

（3）

在最低点，滑块相对滑槽做圆周运动，法向（竖直方向）有：

N - mg = \frac{mu^2}{R}

解得：

N = \frac{mg(3M+2m)}{M}

22.（10 分）

一均质圆盘质量为 $m$ ，半径为 $R$ ，可绕通过圆心且垂直盘面的固定轴转动。现于圆盘边缘沿切线方向施加恒力 $F$ ，同时存在恒定阻力矩 $M_f$ ，且 $FR>M_f$ 。圆盘从静止开始转动。求：

圆盘的角加速度 $\alpha$ ；
经过时间 $t$ 后的角速度 $\omega$ ；
经过时间 $t$ 后圆盘转过的角位移 $\theta$ 。

答案 / 解析

（1）

圆盘对轴的转动惯量：

I = \frac12 mR^2

由转动定律：

FR - M_f = I\alpha

\alpha = \frac{FR - M_f}{I} = \frac{2(FR - M_f)}{mR^2}

（2）

\omega = \alpha t = \frac{2(FR - M_f)t}{mR^2}

（3）

\theta = \frac12 \alpha t^2 = \frac{(FR - M_f)t^2}{mR^2}

23.（10 分）

一艘宇宙飞船的船身固有长度为 $L_0=90\,\mathrm{m}$ ，相对于地面以 $v=0.8c$ （ $c$ 为真空中光速）的匀速度在地面观测站的上空飞过。

观测站测得飞船的船身通过观测站的时间间隔是多少？
宇航员测得船身通过观测站的时间间隔是多少？

答案 / 解析

设地面系为 $S$ 系，飞船系为 $S'$ 系。

（1）

在 $S$ 系中，由洛伦兹收缩：

L = L_0\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = 90 \times 0.6 = 54\,\mathrm{m}

\Delta t = \frac{L}{v} = \frac{54}{0.8 \times 3 \times 10^8} = 2.25 \times 10^{-7}\,\mathrm{s}

（2）

在 $S'$ 系中，

\Delta t' = \frac{L_0}{v} = \frac{90}{0.8 \times 3 \times 10^8} = 3.75 \times 10^{-7}\,\mathrm{s}

24.（10 分）

一定量的某种理想气体，开始时压强、体积、温度分别为 $p_0=1.2\times10^6\,\mathrm{Pa}$ 、 $V_0=8.31\times10^{-2}\,\mathrm{m^3}$ 、 $T_0=300\,\mathrm{K}$ ，后经过一等容过程，温度升高到 $T_1=450\,\mathrm{K}$ ，再经过一等温过程，压强又降到 $p=p_0$ 。已知理想气体的摩尔等压热容与摩尔等容热容之比 $\dfrac{C_{p,m}}{C_{V,m}}=\dfrac53$ ， $R=8.31\,\mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}$ 。求：

该理想气体的摩尔等压热容 $C_{p,m}$ 和摩尔等容热容 $C_{V,m}$ ；
气体从始态变到末态的全过程中从外界吸收的热量。

答案 / 解析

（1）

由 $\dfrac{C_{p,m}}{C_{V,m}} = \dfrac{i+2}{i} = \dfrac53$ ，解得 $i = 3$ 。

C_{V,m} = \frac{i}{2}R = \frac32 R = \frac32 \times 8.31 = 12.47\,\mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}

C_{p,m} = \frac{i+2}{2}R = \frac52 R = \frac52 \times 8.31 = 20.78\,\mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}

（2）

过程一（等容， $T_0 \to T_1$ ）：

p_1 = p_0 \cdot \frac{T_1}{T_0} = 1.2 \times 10^6 \times \frac{450}{300} = 1.8 \times 10^6\,\mathrm{Pa}

Q_1 = \nu C_{V,m}(T_1 - T_0) = \frac32 \nu R(T_1 - T_0) = \frac32(p_1 - p_0)V_0

Q_1 = \frac32 \times (1.8 - 1.2) \times 10^6 \times 8.31 \times 10^{-2} \approx 7.48 \times 10^4\,\mathrm{J}

过程二（等温， $p_1 \to p_0$ ）：

Q_2 = \nu RT_1 \ln\frac{p_1}{p_0} = p_1 V_0 \ln\frac{p_1}{p_0}

Q_2 = 1.8 \times 10^6 \times 8.31 \times 10^{-2} \times \ln 1.5 \approx 6.07 \times 10^4\,\mathrm{J}

总吸热量：

Q = Q_1 + Q_2 \approx 1.35 \times 10^5\,\mathrm{J}