25-26-2-多元统计分析-期末

一、填空题（每小题4分，共16分）

设 $\mathbf{X}_{(\alpha)}=(X_{\alpha1},X_{\alpha2},\dots,X_{\alpha p})^T \sim N_p(\mu_\alpha,\Sigma),\ \alpha=1,2,\dots,n$ 且相互独立，则由 $\mathbf{X}_{(\alpha)}$ 组成的随机矩阵： $\displaystyle W_{p\times p}=\sum_{\alpha=1}^n \mathbf{X}_{(\alpha)}\mathbf{X}_{(\alpha)}^T$ 的分布称为【暂无答案】分布，它是一元统计里【暂无答案】分布的推广。
设 $\mathbf{X}_{(1)},\mathbf{X}_{(2)},\dots,\mathbf{X}_{(n)}$ 为来自 $p$ 元正态总体 $N_p(\mu,\Sigma)$ 的样本， $n>p,\ \Sigma>0$ ，均值向量 $\boldsymbol{\mu}$ 和协差阵 $\mathbf{\Sigma}$ 未知，则 $\boldsymbol{\mu}$ 和 $\mathbf{\Sigma}$ 的极大似然估计为 $\hat{\boldsymbol{\mu}}=$ 【暂无答案】、 $\hat{\mathbf{\Sigma}}=$ 【暂无答案】。
设两个总体 $G_1,G_2$ ，对任意样品 $X$ ，记其到两类的马氏距离为 $d^2(X,G_1)$ 、 $d^2(X,G_2)$ ，依据距离判别准则：
- 若 $d^2(X,G_1)<d^2(X,G_2)$ ，则将样品 $X$ 判归【暂无答案】；
- 若 $d^2(X,G_1)>d^2(X,G_2)$ ，则将样品 $X$ 判归【暂无答案】；
- 若 $d^2(X,G_1)=d^2(X,G_2)$ ，则【暂无答案】。
根据下面描述，依次是哪4种多元统计图形？【暂无答案】、【暂无答案】、【暂无答案】、【暂无答案】。图形描述：观察两变量相关性；多维度辐射多边形；人脸映射多维指标；样本对应光滑曲线。请从「折线图、雷达图、闪电图、散点图、调和曲线图、脸谱图、星座图」中选填。

二、简答题（每小题10分，共60分）

1.

简述马氏距离？马氏距离与欧式距离的联系和区别？

2.

简述主成分分析（PCA）中的方差贡献率、被提取率（共同度）是什么？主成分分析的几何含义是什么（以二维为例）？

3.

简述因子分析（FA）的原理？什么是因子旋转，作用是什么？

4.

简述典型相关分析（CCA）的原理？冗余指数如何计算？冗余分析的作用？

5.

简述对应分析（CA）的原理？根据下面案例的”对应分析图”，阐述结论？

案例：调查 5 类商品（食品、服饰、家电、图书、美妆）在 4 个城市（北京、上海、广州、成都）的月销售额

6.

简述K-均值聚类和系统聚类（谱系）分析的原理？如何解读冰柱图和树状（谱系）图？

三、综合题（每小题12分，共24分）

1.

设 $p$ 维随机向量 $\mathbf{X}=(X_1,X_2,\dots,X_p)^T$ ，均值向量 $E(\mathbf{X})=(E(X_1),E(X_2),\dots,E(X_p))^T$ ，

自协方差阵 $\mathbf{\Sigma}=\mathrm{Cov}(\mathbf{X},\mathbf{X})=E\left[(\mathbf{X}-E(\mathbf{X}))(\mathbf{X}-E(\mathbf{X}))^T\right]$ ，

互协方差阵 $\mathrm{Cov}(\mathbf{X},\mathbf{Y})=E\left[(\mathbf{X}-E(\mathbf{X}))(\mathbf{Y}-E(\mathbf{Y}))^T\right]$ 。

判断 $\mathbf{\Sigma}$ 是否为对称非负定阵？
证明： $E(A\mathbf{X})=AE(\mathbf{X})$ ，其中 $A$ 为 $m\times p$ 常数矩阵， $A=(a_{ij})$ 。
证明： $\mathrm{Cov}(A\mathbf{X},B\mathbf{Y})=A\mathrm{Cov}(\mathbf{X},\mathbf{Y})B^T$ ， $A,B$ 为满足可乘条件的常数矩阵。

2.

抽取 6 个单变量样品，观测值依次为：1.2， 3， 4.8， 6， 8.5， 10，样品点间距采用绝对距离。

试用系统聚类法中的最长距离法对这 6 个样品做聚类分析，并绘制聚类谱系图。
什么是聚类分析的浓缩和扩张？本例最长距离法的聚类分析比最短距离法的聚类分析是浓缩，还是扩张？