25-26-1-高等数学A（上）-期末

一、填空题

1. 求 $y=\frac{1-x}{1+x}$ 的反函数【暂无答案】。

2. 已知 $(1-ax^2)^\frac14$ 与 $x\sin{x}$ 是等价无穷小，则 $a=$ 【暂无答案】。

4. 已知 $f'(x_0)=A$，则 $\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0-2\Delta x)}{\Delta x}=$ 【暂无答案】。

5. 求曲线 $y=\frac{(1+x)^\frac32}{\sqrt{x}}$ 的斜渐近线方程【暂无答案】。

6. 求 $2^x$ 的麦克劳林展开式中 $x^n$ 的系数【暂无答案】。

8. 判断 $\int_{-\infty}^{+\infty} (x^2+x+1)e^{-x^2}$ 的敛散性【暂无答案】（填“收敛”或“发散”）。

10. 已知 $\int_0^x [2f(x)-1]\,\mathrm{d}x=f(x)-1$，求 $f(x)=$ 【暂无答案】。

二、

1. $y=x^2\sin{x}$，求 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$;

2. $y^3+2y^2+xy-3x=0$，求隐函数 $y(x)$ 确定的 $y'(x)$.

四、

求 $\lim_{n\to\infty} \frac1{n} [\sqrt{1+\cos{\frac{\pi}n}}+\sqrt{1+\cos{\frac{2\pi}n}}+\cdots+\sqrt{1+\cos{\frac{n\pi}n}}]$。

五、

估计 $\int_\frac{\pi}4^\frac{\pi}2 \frac{\sin{x}}{x}\,\mathrm{d}x$ 的值。

六、

求 $y=x^2$、x轴与 $x=1$ 所围成图像分别绕x轴和y轴旋转得到的旋转体的体积。

七、

$y''+2y'+2y=\mathrm e^{-x}\sin{x}$，求微分方程通解。

八、

$f(x)$ 在[0,1]上连续且单调递减，证明：当 $0<\lambda<1$ 时，$\int_0^{\lambda} f(x)\,\mathrm{d}x\ge\lambda\int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x$.