25-26-1-线性代数-期末（A卷）

一、选择题

1. 由向量 $\alpha_1=(1,1,1)^T$, $\alpha_2=(1,0,1)^T$, $\alpha_3=(2,1,2)^T$ 生成的空间的维数为 ( )。

3

2

1

0

检查

2. 行列式 $\left|\begin{matrix}a&b&b\\b&a&b\\b&b&a\end{matrix}\right|=$( )。

$(a+2b)(a-b)^2$

$(a+b)(a-b)^2$

$(a+2b)(a-b)$

$(a-b)^2$

检查

3. 设 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵，$B$ 为 $n\times m$ 矩阵，那么 ( )。

$m>n$ 时，必有 $|AB|\ne0$

$m>n$ 时，必有 $|AB|=0$

$n>m$ 时，必有 $|AB|\ne0$

$n>m$ 时，必有 $|AB|=0$

检查

4. 设 $A,B$ 为 $n$ 阶矩阵，$A^*,B^*$ 分别为 $A,B$ 对应的伴随矩阵，分块矩阵 $C=\left(\begin{matrix}A&O\\O&B\end{matrix}\right)$，那么 $C$ 的伴随矩阵 $C^*$ 为 ( )。

$\left(\begin{matrix}|A|A^*&O\\O&|B|B^*\end{matrix}\right)$

$\left(\begin{matrix}|B|B^*&O\\O&|A|A^*\end{matrix}\right)$

$\left(\begin{matrix}|A|B^*&O\\O&|B|A^*\end{matrix}\right)$

$\left(\begin{matrix}|B|A^*&O\\O&|A|B^*\end{matrix}\right)$

检查

5. 设向量 $\beta$ 可由向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m$ 线性表示，但不能由向量组 (I) $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_{m-1}$ 线性表示，已知向量组 (II) $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_{m-1},\beta$，那么 ( )。

$\alpha_m$ 不能由 (I) 线性表示，也不能由 (II) 线性表示

$\alpha_m$ 不能由 (I) 线性表示，但可以由 (II) 线性表示

$\alpha_m$ 可以由 (I) 线性表示，也可以由 (II) 线性表示

$\alpha_m$ 可以由 (I) 线性表示，但不能由 (II) 线性表示

检查

6. 设 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵，那么对于齐次线性方程组 $Ax=0$，下列结论成立的是 ( )。

当 $m\ge n$ 时，方程组只有零解

当 $m<n$ 时，方程组有非零解，且基础解系中含 $n-m$ 个线性无关的解向量

若 $A$ 有 $n$ 阶子式不为零，那么方程组只有零解

若 $A$ 所有的 $n-1$ 阶子式不为零，那么方程组只有零解

检查

7. 设 $\lambda_1,\lambda_2$ 是矩阵 $A$ 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 $\beta_1,\beta_2$，那么 $\beta_1,A(\beta_1+\beta_2)$ 线性无关的充要条件是 ( )。

$\lambda_1=0$

$\lambda_2=0$

$\lambda_1\ne0$

$\lambda_2\ne0$

检查

8. 设 $A$ 是三阶矩阵，$P$ 是三阶可逆矩阵，且

$$P^{-1}AP=\left(\begin{matrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&2 \end{matrix}\right)$$

$P=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$, $Q=(\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2,\alpha_3)$，则 $Q^{-1}AQ=$( )。

$\left(\begin{matrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&1\end{matrix}\right)$

$\left(\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&2\end{matrix}\right)$

$\left(\begin{matrix}2&0&0\\0&1&0\\0&0&2\end{matrix}\right)$

$\left(\begin{matrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&1\end{matrix}\right)$

检查

9. 二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=a(x_1^2+x_2^2+x_3^2)+2x_1x_2+2x_2x_3+2x_1x_3$ 的正负惯性指数分别为 $1,2$，那么 ( )。

$a>1$

$a<-2$

$-2<a<1$

$a=1$ 或 $a=-2$

检查

10. 设实二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+4x_1x_2+4x_2x_3+4x_1x_3$，那么 $f(x_1,x_2,x_3)=2$ 在空间直角坐标系下表示的二次曲面为 ( )。

单叶双曲面

双叶双曲面

椭球面

柱面

检查

二

记 $f(x)=\left|\begin{matrix} x-2&x-1&x-2&x-3\\ 2x-2&2x-1&2x-2&2x-3\\ 3x-3&3x-2&4x-5&3x-5\\ 4x&4x-3&5x-7&4x-3 \end{matrix}\right|$，求解方程 $f(x)=0$。

三

已知 $A,B$ 为三阶方阵，且满足 $2A^{-1}B=B-4E$，其中 $E$ 是三阶单位矩阵。

1. 证明 $A-2E$ 可逆。
2. 若 $B=\left(\begin{matrix} 1&-2&0\\ 1&2&0\\ 0&0&2 \end{matrix}\right)$ 求矩阵 $A$。

四（12分）

已知向量组

$$\begin{align*} &\alpha_1=(1+a,1,1,1)^T\\ &\alpha_2=(2,2+a,2,2)^T\\ &\alpha_3=(3,3,3+a,3)^T\\ &\alpha_4=(4,4,4,4+a)^T \end{align*}$$

1. $a$ 为何值时，向量组线性相关？(5分）
2. 当向量组线性相关时，求一个极大线性无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示。（7分）

五

己知矩阵 $A=\left(\begin{matrix} 1&1&1-a\\ 1&0&a\\ a+1&1&a+1 \end{matrix}\right)$, $\beta=\left(\begin{matrix}0\\1\\2a-2\end{matrix}\right)$，且方程组 $Ax=\beta$ 无解。

1. 求 $a$ 的值。
2. 求方程组 $A^TAx=A^T\beta$ 通解。

六

求锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 和柱面 $z^2=2x$ 所围立体在 $xOy$ 坐标面上的投影。

七

已知实二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=x^TAx$ 在正交变换 $x=Qy$ 下的标准形为 $y_1^2+y_2^2$，并且 $Q$ 的第三列为 $\left(\frac{\sqrt2}2,0,\frac{\sqrt2}2\right)^T$。

1. 求出 $A$。
2. 求证 $A+E$ 为正定矩阵。