25-26-1-概率论与随机过程-期末（计算机学院101班）

一、填空题（40分，每空4分）

  1. 设随机事件 A,BA, B 满足 P(AB)=P(A‾ B‾)P(AB)=P(\overline{A}\,\overline{B}), 且 P(A)=pP(A) = p, 则 P(B)=P(B) = 【暂无答案】

  2. 随机变量 XX 服从参数为 11 的泊松分布，则 P(X=E(X2))=P(X = E(X^2)) = 【暂无答案】

  3. 已知随机变量 XX 服从 U(1,6)U(1,6), 则矩阵 A=(2000−X10−10)A = \left( \begin{matrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & - X & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \end{matrix} \right) 的特征值全为实数的概率为 【暂无答案】

  4. 已知随机变量 XX 的分布函数 F(x)F(x) 是严格单调的连续函数, F(X)F(X) 的概率密度函数为 【暂无答案】

  5. 已知随机变量 XX 服从均值为 1 的指数分布, 则 Y=min⁡{X,2}Y = \min \{X, 2\} 的分布函数 F(y)=F(y) = 【暂无答案】

  6. 已知随机变量 (X,Y)(X, Y) 服从 N(1,2,12,22,0.5)\mathrm{N}(1, 2, 1^2, 2^2, 0.5) ，则 Z=2X+Y+1Z = 2X + Y + 1 的概率密度函数 【暂无答案】

  7. 设某餐厅每天接待 300 名顾客, 并设每位顾客的销售额(元)服从均匀分布 U(40,100)U(40,100), 且顾客的消费相互独立. 用中心极限定理估计该餐厅日营业额超过 21750 的概率为 (用标准正态分布的分布函数 Φ(x),x>0\Phi(x), x > 0 表示). 【暂无答案】

  8. 设随机过程 X(t)=X+Yt+Zt2X(t) = X + Yt + Zt^2 ，其中 X,Y,ZX, Y, Z 是均值为零的方差为 1 的相互独立的随机变量，则相关函数 RX(s,t)=R_X(s, t) = 【暂无答案】

  9. 设 {W(t),0≤t<+∞}\{W(t), 0 \le t < +\infty\} 是参数为 σ2\sigma^2 的维纳过程, 则 E[(W(3)−W(1))(W(4)−W(1))]=E[(W(3) - W(1))(W(4) - W(1))] = 【暂无答案】

  10. 设齐次马氏链 {Xn,n≥0}\{X_{n}, n \geq 0\} 的状态空间E={1,2,3,4,⋯m}E=\{1,2,3,4,\cdots m\}，一步转移概率矩阵的每行每列都为 1m\frac1{m} 则从状态2出发返回状态2所花时间的数学期望是 【暂无答案】

二、（15分）

有一个袋子，里面有 nn 枚硬币，第 ii 枚硬币正面向上的概率为 in\frac in .现随机地从这个袋子中取一枚硬币，求：

  1. 已知第一次正面向上的条件下，第二次扔同一枚硬币仍然正面向上的概率；
  2. 头两次正面向上的条件下，估计取出的是第2枚硬币的概率；
  3. 如果将题干改为：有一个袋子里面装着一枚硬币，该硬币正面向上的概率服从(0,1)上的均匀分布，求第一次扔该硬币正面向上的条件下，该硬币正面向上的条件概率密度函数。

三、（15分）

设二维随机变量 (X,Y)(X,Y) 具有概率密度函数为

f(x,y)={k3e−x(1+y),x>0,y>0,0其 他.f (x, y) = \left\{ \begin{array}{l l} \frac {k}{3} \mathrm e ^ {- x (1 + y)}, & x > 0, y > 0, \\ 0 & \text {其 他}. \end{array} \right.

求：

  1. 系数 kk；
  2. 边缘概率密度 fX(x),fY(y)f_{X}(x), f_{Y}(y) ，并问 X,YX, Y 是否独立，为什么？
  3. 条件概率密度 fY∣X(y∣x),fX∣Y(x∣y)f_{Y|X}(y|x), f_{X|Y}(x|y).

四、（15分）

第四题图

第四题图

李四在图上做随机游动，如果他在点A，则他下一步在点B的概率为1，如果他在点B，则他下一步等可能地在A、C、或D，以此类推。设X(t)为t时刻李四所在的点的位置。

  1. 证明X(t)是一个时齐的Markov链，并给出一步转移概率矩阵；
  2. 将状态空间分类，并给出理由说明每个状态的常返性、周期性和遍历性；
  3. 求从A出发，时间充分长时，李四在B点的概率；
  4. 求从C点出发，他首次到达A点的平均时长。

五、（15分）

设某线性系统的脉冲响应函数为

h(t)={2e−2t,t≥00,t<0h(t) = \begin{cases} 2e^{-2t}, & t\geq 0\\ 0, & t < 0 \end{cases}

将平稳过程 {X(t),t∈(−∞,+∞)}\left\{X(t),\quad t\in (-\infty , + \infty)\right\} 输入到该系统后，输出平稳过程{Y(t),t∈(−∞,+∞)}\left\{Y(t),\quad t\in (-\infty , + \infty)\right\}的谱密度为

SY(ω)=4ω4+13ω2+36,S_{Y}(\omega) = \frac{4}{\omega^{4} + 13\omega^{2} + 36},

求：

  1. 输入平稳过程的{X(t),t∈(−∞,+∞)}\left\{X(t),\quad t\in (-\infty , + \infty)\right\}的谱密度 SX(ω)S_{X}(\omega)；
  2. 自相关函数 RX(τ)R_{X}(\tau)；
  3. 输入与输出的互谱密度 SXY(ω)S_{XY}(\omega)。