25-26-1-概率论与数理统计-期末

一、填空选择题（每小题4分，共40分）

1. 6片药片中有3片是安慰剂。从中任意抽取2片，则其中至少有1片是安慰剂的概率为 【显示答案】 $\frac{4}{5}$。

2. 设 $A, B, C$ 为三个随机事件，且 $A$ 与 $B$ 相互独立，$B$ 与 $C$ 相互独立，$A$ 与 $C$ 互不相容。已知 $P(A) = P(C) = \frac{1}{3}$，$P(B) = \frac{1}{2}$，则在事件 $A, B, C$ 中至少有一个发生的条件下，$A,B,C$ 中恰有一个发生的概率为 【显示答案】 $\frac57$。

3. 设随机变量 $X$ 的分布律为

X	0	1	4
P	$\frac14$	$\frac12$	$\frac14$

则 $E(X - 1) =$ 【显示答案】 $\frac12$。

4. 设 $X$ 服从指数分布，$E(X) = \frac{1}{2}$。记 $Y = 1 - e^{-2X}$，则 $P\{Y > \frac{1}{3}\} =$ 【显示答案】 $\frac12$。

5. 设 $X_{1},X_{2},\ldots,X_{20}$ 是来自总体 $B(1,0.1)$ 的简单随机样本。令 $T = \sum_{i = 1}^{20}X_{i}$。利用泊松分布近似表示二项分布的方法可得 $P\{ T \leq 0\} \approx$ 【显示答案】 $\mathrm e^{-2}$。

6. 设随机变量 $(X,Y)$ 服从二维正态分布 $N(0,0;1,4;\rho)$，若 $X$ 与 $X+Y$ 不相关，则 $2X - Y$ 服从( )分布。

$N(0,6)$

$N(0,8)$

$N(0,10)$

$N(0,12)$

检查

7. 设 $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}, \ldots$ 为来自总体 $X \sim U(0,1)$ 的简单随机样本，则根据中心极限定理，下列选项中正确的是( )。

$\lim_{n\to\infty}P\left\{\frac{\sum_{i=1}^n X_i - \frac{n}{2}}{\sqrt{\frac{n}{12}}} \leq x \right\} = \Phi(x)$

$\lim_{n\to\infty}P\left\{\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{\sqrt{n}} \leq x \right\} = \Phi(x)$

$\lim_{n\to\infty}P\left\{\frac{\sum_{i=1}^n X_i - n}{\sqrt{\frac{n}{3}}} \leq x \right\} = \Phi(x)$

$\lim_{n\to\infty}P\left\{\frac{\sum_{i=1}^n X_i + \frac{n}{2}}{\sqrt{\frac{n}{3}}} \leq x \right\} = \Phi(x)$

检查

8. 设总体 $X$ 的分布函数为

$$F(x) = \begin{cases} 1 - e^{-\frac{x}{\theta}}, & x > 0, \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$

其中参数 $\theta > 0$ 未知。$X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}$ 是取自总体 $X$ 的一个样本。则当 $n > 1$ 时，参数 $\theta$ 的无偏估计量中样本均值 $\overline{X}$ 与 $Z = n \cdot \min(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n})$ 哪个更有效？ 【显示答案】 $Z$（请填写 $\overline{X}$ 或 $Z$）

9. 设 $X_{1},X_{2},\ldots,X_{6}$ 为来自总体 $X \sim N(0,1)$ 的简单随机样本，记 $Y = \frac{X_{1}}{\sqrt{\sum_{i=2}^{6}X_{i}^{2}/5}}$。对给定的 $a\,(0<a<1)$，数 $u_a$ 满足 $P\{Y>u_a\}=a$。若 $P\{ |Y| < y \} = \alpha$，则 $y=$( )。

$u_{\frac\alpha2}$

$u_{1-\frac\alpha2}$

$u_{\frac{1-\alpha}{2}}$

$u_{1-\alpha}$

检查

10. 设某种清漆的干燥时间服从正态分布 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，$\sigma > 0$ 未知。从中任取 $n$ 个样本，它们的平均干燥时间为 $\overline{x}$，方差为 $s^2$，则这批清漆干燥时间的均值 $\mu$ 的置信水平 $1-\alpha$ 的置信区间为( )。

$\left( \overline{X} - \frac{\sigma}{\sqrt{n}} z_{\alpha/2}, \overline{X} + \frac{\sigma}{\sqrt{n}} z_{\alpha/2} \right)$

$\left( \overline{X} - \frac{s}{\sqrt{n}} t_{\alpha/2}(n-1), \overline{X} + \frac{s}{\sqrt{n}} t_{\alpha/2}(n-1) \right)$

$\left( \overline{X} - \frac{\sigma}{\sqrt{n}} z_{\alpha}, \overline{X} + \frac{\sigma}{\sqrt{n}} z_{\alpha} \right)$

$\left( \overline{X} - \frac{s}{\sqrt{n}} t_{\alpha}(n), \overline{X} + \frac{s}{\sqrt{n}} t_{\alpha}(n) \right)$

检查

二、计算题（共10分）

某种型号器件的寿命 $X$ 具有概率密度

$$f(x) = \begin{cases} \frac{10}{x^{2}}, & x > 10, \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$

1. 求寿命 $X$ 的分布函数 $F(x)$；
2. 求 $P\{X > 15\}$；
3. 任取3只该种器件，不妨设它们的寿命相互独立，求其中至少有1只寿命大于15的概率 $p$。

三、计算题（共10分）

设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x) = \frac{\mathrm{e}^x}{\left(1 + \mathrm{e}^{x}\right)^2}$ ， $-\infty < x < +\infty$ 。令 $Y = \mathrm{e}^{X}$ 。

1. 求随机变量 $X$ 的分布函数 $F_{X}(x)$
2. 求随机变量 $Y$ 的概率密度 $f_{Y}(y)$ 。

四、计算题（共10分）

设二维随机变量 $(X,Y)$ 的概率分布为。

$X/Y$	0	1	2
-1	0.1	0.1	$b$
0	0	0.1	0
1	$a$	0.1	0.1

若事件 $\{\max \{X,Y\} = 2\}$ 与事件 $\{\min \{X,Y\} = 1\}$ 相互独立。

1. 求未知常数 $a$ 与 $b$
2. 求条件概率 $P\{X = 1 \mid Y = 2\}$
3. 求 $X$ 与 $Y$ 的协方差 $\operatorname{Cov}(X, Y)$ 。

五、计算题（共10分）

设二维随机变量 $(X,Y)$ 的概率密度为

$$f (x, y) = \begin{cases} c \left(6 - x - y\right), & 0 < x < 2,\, 2 < y < 4,\\ 0, & \text{其他}. \end{cases}$$

1. 求未知常数 $c$ 和 $X$ 的概率密度 $f_{X}(x)$
2. 求给定 $X = x\ (0 < x < 2)$ 的条件下 $Y$ 的条件概率密度 $f_{Y|X}(y|x)$
3. 求 $P\{X < 1\}$ 。

六、计算题（共10分）

设 $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}$ 为来自均值为 $\theta$ 的指数分布总体的简单随机样本， $Y_{1}, Y_{2}, \ldots, Y_{m}$ 为来自均值为 $2\theta$ 的指数分布总体的简单随机样本，且两样本相互独立，其中 $\theta\ (\theta > 0)$ 是未知参数。

1. 利用样本 $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}$，求 $\theta$ 的矩估计量 $\hat{\theta}_{1}$
2. 利用样本 $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}, Y_{1}, Y_{2}, \ldots, Y_{m}$，求 $\theta$ 的最大似然估计量 $\hat{\theta}_{2}$ 。

七、计算题（共10分）

甲、乙两台机床同时独立地加工某种轴承，轴承的直径分别服从正态分布 $N(\mu_1, \sigma_1^2)$ 和 $N(\mu_2, \sigma_2^2)$，参数 $\mu_1, \mu_2, \sigma_1^2, \sigma_2^2$ 均未知。技术人员独立地用两台机床分别生产了 $n_1 = 6$ 和 $n_2 = 12$ 根轴承，计算得到轴承直径的平均值分别为 $\overline{x} = 90$ 和 $\overline{y} = 86$；方差分别为 $s_1^2 = 1.08$ 和 $s_2^2 = 0.60$。

1. 在显著性水平 $\alpha = 0.10$ 下，检验假设：$H_{0}: \sigma_{1}^{2} = \sigma_{2}^{2}$，$H_{1}: \sigma_{1}^{2} \neq \sigma_{2}^{2}$。即，可否认为两台机床生产的轴承直径的方差具有齐性。
2. 在显著性水平 $\alpha = 0.10$ 下，检验假设：$H_{0}: \mu_{1} \leq \mu_{2}$、$H_{1}: \mu_{1} > \mu_{2}$。即，可否认为甲机床生产的轴承直径显著高于乙机床生产的轴承直径。

解题时可能需要用到：$F_{0.05}(11,5) = 4.70$ 、 $F_{0.05}(5,11) = 3.20$ 、 $t_{0.05}(16) = 1.7459$ 、 $t_{0.10}(16) = 1.3368$ 、 $\sqrt{3} \approx 1.732$ 。