25-26-1-数学分析（上）-期末

一、填空题 （本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）

  1. lim⁡n→∞(n−2n+2)n=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n-2}{n+2}\right)^n = 【暂无答案】

  2. 已知 f(x)f(x) 在 x=0x=0 的某邻域有定义，且 lim⁡x→0f(0)−f(3x)ln⁡(1+2x)=1\lim_{x\to0}\frac{f(0)-f(3x)}{\ln(1+2x)}=1，则 f′(0)=f'(0)= 【暂无答案】

  3. 曲线 y=x2−x+1y=\sqrt{x^2-x+1}，当 x→+∞x\to+\infty 时，该曲线的斜渐近线为 【暂无答案】

  4. 设 y=y(x)y=y(x) 由方程 ∫01−ye−x2 dx=ln⁡(1+x2)\int_0^{1-y} e^{-x^2}\,\mathrm{d}x=\ln(1+x^2) 确定，则 x=0x=0 是 y=y(x)y=y(x) 的极 【暂无答案】 值点。

  5. 函数 f(x)=x2∣x∣f(x)=x^2|x| 在 x=0x=0 点存在的最高阶导数 f(n)(0)f^{(n)}(0) 的阶数 n=n= 【暂无答案】

  6. lim⁡x→0sin⁡x−sin⁡(sin⁡x)arctan⁡x⋅(1−x2−1)=\lim_{x\to0}\frac{\sin x-\sin(\sin x)}{\arctan x\cdot(\sqrt{1-x^2}-1)}= 【暂无答案】

  7. 曲线 y=x(x+1)2y=\frac{x}{(x+1)^2} 的拐点为 【暂无答案】

  8. 已知 f(x)f(x) 连续可导，且 f(2)=1f(2)=1, ∫02f(x) dx=2\int_0^2 f(x)\,\mathrm{d}x=2，则 ∫01xf′(2x) dx=\int_0^1 x f'(2x)\,\mathrm{d}x= 【暂无答案】

  9. 反常积分 ∫1+∞1xx2−13 dx\int_1^{+\infty}\frac{1}{x\sqrt[3]{x^2-1}}\,\mathrm{d}x 的敛散性为 【暂无答案】（填“收敛”或“发散”）。

  10. 微分方程 y′′−2y′+2y=exsin⁡xy''-2y'+2y=e^x\sin x 的特解形式为 【暂无答案】

二、解答题 （共 7 题，共 70 分）

11. (12 分)

求：

(1) lim⁡x→0∫0x(x−t)sin⁡t2 dt(x2+x3)ln⁡(1+x2)\lim_{x\to0}\frac{\int_0^x(x-t)\sin t^2\,\mathrm{d}t}{(x^2+x^3)\ln(1+x^2)};

(2) lim⁡n→∞(1n2+n+1n2+2n+⋯+1n2+n2)\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2n}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^2+n^2}}\right)。

12. (12 分)

设 f(x)f(x) 在 [−a,a][-a,a] 上连续：

(1) 证明：∫−aaf(x) dx=∫0a[f(x)+f(−x)] dx\int_{-a}^{a}f(x)\,\mathrm{d}x=\int_0^a[f(x)+f(-x)]\,\mathrm{d}x;

(2) 计算 ∫−π4π4tan⁡2x1+etan⁡x dx\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\frac{\tan^2 x}{1+e^{\tan x}}\,\mathrm{d}x。

13. (10 分)

设 f(x)f(x) 在 [0,2][0,2] 上连续，在 (0,2)(0,2) 内可导，且 f(0)f(2)>0f(0)f(2)>0, ∫02f(x) dx=0\int_0^2 f(x)\,\mathrm{d}x=0。证明：存在 ξ∈(0,2)\xi\in(0,2)，使得 f′(ξ)=0f'(\xi)=0。

14. (12 分)

求微分方程 xdy+(x−2y)dx=0x\mathrm{d}y+(x-2y)\mathrm{d}x=0 的一个解 y=y(x)y=y(x)，使得由曲线 y=y(x)y=y(x) 与直线 x=1x=1, x=2x=2 以及 xx 轴所围成的平面图形绕 xx 轴旋转一周的旋转体体积最小。

15. (8 分)

已知 ∫a2ln⁡2dxex−1=π6\int_a^{2\ln 2}\frac{dx}{\sqrt{e^x-1}}=\frac{\pi}{6}, 求 aa。

16. (8 分)

设 f(x)f(x) 在 [a,b][a,b] 上二阶可导，且 f′(a)=f′(b)=0f'(a)=f'(b)=0。证明：存在 ξ∈(a,b)\xi\in(a,b)，使得 ∣f(b)−f(a)∣≤14(b−a)2∣f′′(ξ)∣|f(b)-f(a)|\le\frac14(b-a)^2|f''(\xi)|。

17. (8 分)

已知当 x→0x\to0 时, f(x)=ex−x2−1−ln⁡(1+x)f(x)=e^{x-x^2}-1-\ln(1+x) 与 axnax^n 为等价无穷小，求常数 aa 和 nn。下面是 AI 提供的解析，请判断该解析是否正确，如果有误，请指出错误之处，并给出正确的解析。

利用麦克劳林公式(x→0x\to 0):

  1. 展开项：

    ex−x2=1+x−x2+o(x2)e^{x-x^2}=1+x-x^2+o(x^2)

    ln⁡(1+x)=x−x22+o(x2)\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)

  2. 代入 f(x)f(x):

    f(x)=ex−x2−1−ln⁡(1+x)=(1+x−x2)−1−(x−x22)+o(x2)=−x22+o(x2)\begin{aligned} f(x) &= e^{x-x^2}-1-\ln(1+x) \\ &= (1+x-x^2)-1-\left(x-\frac{x^2}{2}\right)+o(x^2) \\ &= -\frac{x^2}{2}+o(x^2) \end{aligned}

  3. 等价无穷小的定义：

    由 f(x)∼axnf(x)\sim ax^n，得
    n=2,a=−12n=2,\quad a=-\frac12。

结论：n=2, a=−12n = 2,\ a = -\dfrac12