25-26-1-信号与系统-期末

一、填空题（每空2分，共20分）

信号 $f(t) = \cos (\omega_0t)$ 的希尔伯特变换是【暂无答案】
若某连续线性时不变(LTI)系统的频率响应为 $H(\omega) = 3\mathrm{e}^{-\mathrm{j}2\omega}$ ，当输入信号为 $\cos(4t)$ 时，系统的稳态响应是【暂无答案】
若信号 $f(t)$ 的傅里叶变换为 $F(\omega)$ ，则信号 $f(t) \cdot \cos (\omega_0 t)$ 的傅里叶变换为。
一个理想低通滤波器的截止频率为 $f_{\mathrm{c}} = 1000\,\mathrm{Hz}$ ，通带内系统的幅频特性取值为1，相频特性为0，当输入信号为 $x(t) = \cos (1000\pi t) + \cos (3000\pi t)$ 时，系统的输出为
已知信号 $x(t) = \mathrm{e}^{-t} u(t)$ ，其导函数 $x'(t)$ 的单边拉普拉斯变换为 $u'(t) e^{-t} - t u(t)$
已知某因果 LTI 系统的系统函数为 $H(s) = \frac{s + 5}{(s + 3)(s^2 + as + 10)}$ ，其中 $a$ 为实数。为使该系统稳定，参数 $a$ 的取值范围应为。
已知序列 $x[n]$ 的单边 $z$ 变换为 $X(z)$ ，则 $(0.5)^n \cdot x[n]$ 的单边 $z$ 变换为【暂无答案】
已知序列 $x[n]$ 的 $z$ 变换为 $X(z)$ ，则序列 $x\left[\frac{n}{2}\right]$ 的 $z$ 变换为【暂无答案】

题图所示信号流图中所有环路增益之和为【暂无答案】
对于序列 $x\left\lbrack n\right\rbrack = {a}^{n}u\left\lbrack n\right\rbrack$ , $a$ 的取值范围满足时该序列是绝对可和的。

二、选择题（每空2分，共20分）

若信号 $f\left( t\right)$ 的傅里叶变换为 $F\left( \omega \right)$ ,则信号 $f\left( {t - {t}_{0}}\right)$ 的傅里叶变换为( )。

F(\omega) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega x_{0}}

F(\omega) \mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega x_0}

F\left(\omega + t_{0}\right)

F\left(\omega - t_{0}\right)

周期矩形脉冲信号, 若保持周期 $T$ 不变, 减小脉冲宽度 $\tau$ , 则幅度谱的包络( )。

变宽,幅度增大

变宽,幅度减小

变窄, 幅度增大

变窄,幅度减小

信号 $x\left( t\right) = \operatorname{Sa}\left( {{100\pi t}}\right)$ 的频带宽度为( )弧度/秒。

{200\pi }

100

50

100 \pi

在调制过程中, 若载波频率为 $f_{\mathrm{c}}$ , 基带实信号的最高频率为 $f_{\mathrm{m}}$ , 且 $f_{\mathrm{c}} \gg f_{\mathrm{m}}$ , 则调制后带通型信号的带宽为 ( )。

f_{c}

f_{\mathrm{m}}

2 f_{\mathrm{m}}

f_{\mathrm{m}} + f_{\mathrm{c}}

某因果信号 $x\left( t\right)$ 的拉普拉斯变换为 $X\left( s\right) = \frac{{2s} + 3}{{s}^{2} + {3s} + 2}$ ,则 $x\left( {0}_{+}\right)$ =( )。

0

2

3

\infty

信号 $x\left( t\right) = {t}^{2}u\left( t\right)$ 的拉普拉斯变换为( )。

\frac{2}{{s}^{3}}

\frac{1}{s^{3}}

\frac{2}{s^{2}}

\frac{s}{s^{2} + 1}

序列 $x\left\lbrack n\right\rbrack$ 的单边 $z$ 变换为 $X\left( z\right) = {z}^{-1} + 6{z}^{-2}$ ,则序列 $x\left\lbrack n\right\rbrack$ 可表示为( )。

\delta [n - 1] + 6\delta [n - 2]

u[n - 1] + 6u[n - 2]

u[n - 1] + 6\delta [n - 2]

\delta [n - 1] + 6u[n - 2]

已知因果序列 $x[n]$ ，其 $z$ 变换为 $X(z) = \frac{1 + z^{-1} + z^{-2}}{(1 - z^{-1})(1 - 2z^{-1})}$ 。 $x[n]$ 的初值 $x[0]$ 和终值 $x[\infty]$ 分别为( )。

初值为0，终值为1

初值为

1 / 2

，终值为0

初值为 1 , 终值不存在

初值为 1 , 终值为 0

某连续 LTI 系统的系统函数为 $H(s) = \frac{2 - s}{2 + s}$ ，该系统具有( )滤波特性。

长通

高通

带通

全通

离散 LTI 系统稳定的充要条件是系统函数 $H\left( z\right)$ 的收敛域(ROC)( )。

包含单位圆

\left| z\right| = 1

包含原点

z = 0

包含无穷远点

z = \infty

包含整个Z平面

三、计算画图题（12分）

已知某连续时间带限信号 $x(t)$ 的频谱如题图所示，其中 $\omega_{\mathrm{m}}$ 为一个已知的量。

求信号 $x(t)$ 的能量。
求信号 $y(t) = x\left(\frac{t}{2}\right)$ 的傅里叶变换 $Y(\omega)$ ，利用 $X(\omega)$ 表示，并画出频谱图。
若对该信号进行理想抽样，当抽样角频率 $\omega_{s} = 2.5\omega_{m}$ 时，请画出抽样后信号 $x_{s}(t)$ 的频谱 $X_{0}(\omega)$ 的图形。

四、计算画图题（8分）

已知 $x(t) = u(t) - u(t - 1)$

求 $y(t) = x(t) \ast x(t)$ 的拉普拉斯变换 $Y(s)$ 。
画出 $y(t)$ 的波形图。

五、分析计算题（8分）

已知某连续线性时不变因果系统，其输入为 $x(t) = \mathrm{e}^{-3t}u(t)$ 时，系统的零状态响应为 $y(t) = \left(\mathrm{e}^{-3t} - \mathrm{e}^{-4t}\right)u(t)$ 。

求系统的系统函数 $H(s)$ 及其收敛域；
判断该系统是否稳定，并写出其傅里叶变换形式的系统函数（如果存在）。

六、分析计算题（8分）

已知某连续系统的信号流图如题图6所示，请写出该系统的系统函数。

七、分析计算题（6分）

某因果离散LTI系统的差分方程为 $y[n] + 3y[n - 1] + 2y[n - 2] = x[n] + x[n - 1]$ 其中 $x[n]$ 为输入序列， $y[n]$ 为输出序列，求该系统的系统函数 $H(z)$ 和单位样值响应 $h[n]$ 。

八、分析计算题（10分）

已知某因果LTI系统的微分方程为 $y''(t) + 4y'(t) + 13y(t) = x'(t) + 3x(t)$ ，求系统函数 $H(s)$ 及其收敛域，并在 $s$ 平面画出零、极点分布图。

九、计算机实践题（8分）

在心电图（ECG）或脑电图（EEG）信号采集系统中，原始生理信号通常包含多种频率成分，其中既有有用的信号，也混有噪声或干扰。为了更有效地提取信息并减少后续数字信号处理过程中的信号失真，需要使用模拟滤波器对信号进行处理。设某一阶RC电路的频率响应特性为 $H(\omega) = \frac{\alpha}{\alpha + \mathrm{j}\omega}$ ，其中 $\alpha = 2\pi f_{\mathrm{c}}$ ， $f_{\mathrm{c}} > 0$ 为系统的3dB截止频率，题图9-1所示为计算机绘制的该系统的幅频特性曲线。

设输入信号为 $e(t) = \sin(2\pi t) + \sin(20\pi t)$ ，计算机绘制的波形如题图 9-2(a) 所示。若选用上述 RC 低通滤波器作为数字化处理的前置滤波器， $e(t)$ 通过滤波器后输出可能是题图 9-2(b) 或 (c) 中的哪种情况？简要分析原因。
设输入信号为 $e(t) = \sin (2\pi t)$ ，对其进行理想抽样（抽样频率为 $f_{s} = 20\mathrm{Hz}$ ）得到 $e_{s}(t)$ 。为了恢复原信号，将 $e_{s}(t)$ 通上述RC低通滤波器，得到的响应信号如题图9-3所示，信号没能完全恢复为题图9-2(a)形式，试分析产生这种现象的原因。