25-26-1-人工智能数学方法-期末

一、选择题（18分，每小题3分）

  1. （多选）下列说法正确的是 ( )。
  1. （多选）下列说法正确的是 ( )。
  1. 可逆矩阵 AA 与矩阵 ( ) 有相同的特征值。
  1. 下列集合 (1) {(x1,x2) ∣ x1+2x2≥1, x1−x2≥1}\{(x_1,x_2)\,|\,x_1+2x_2\ge1,\ x_1-x_2\ge1\}；(2) {(x1,x2) ∣ x2≥∣x1∣}\{(x_1,x_2)\,|\,x_2\ge|x_1|\}；(3) {(x1,x2) ∣ x12+x22≤10}\{(x_1,x_2)\,|\,x_1^2+x_2^2\le10\} 中，有 ( ) 个集合是凸集。
  1. 判断函数 f(x1,x2)=x1+3x2+32x12+12x1x2+2x22f(x_1,x_2) = x_1 + 3x_2 + \frac32 x_1^2 + \frac12 x_1 x_2 + 2x_2^2 的性质，它是 ( )。
  1. 设一组向量 x=(x1,x2,x3)Tx = (x_1,x_2,x_3)^\mathrm{T} 的协方差矩阵为
[802030205]\begin{bmatrix} 8 & 0 & 2\\ 0 & 3 & 0\\ 2 & 0 & 5 \end{bmatrix}

X 的主成分贡献率从高到低分别为 ( )。

二、填空题（18分，每小题3分）

  1. 样本 x1=(1,2,0,1,6)x_1 = (1,2,0,1,6) 和 x2=(2,1,−3,0,5)x_2 = (2,1,-3,0,5) 的相关系数为 。

  2. 设 A,B,A+BA,B,A+B 都是 nn 阶可逆矩阵，则矩阵 A−1+B−1A^{-1}+B^{-1} 的逆矩阵是 （如果逆矩阵不存在则填写“不存在”）

  3. 设连续型随机变量 XX 的概率密度函数为

f(x)={kx2,0≤x≤1,0,其他.f(x) = \begin{cases} kx^2, & 0\le x \le 1,\\ 0, & \text{其他}. \end{cases}

通过计算出 kk 值后可得 P(−0.5<X≤0.5)P(-0.5 < X \le 0.5) = 。

  1. 给定函数 f(x)=(6+x1+x2)2+(2−x1x2)2f(x) = (6+x_1+x_2)^2+(2-x_1x_2)^2，该函数在点 x^=(0,2)T\hat{x} = (0,2)^T 处的牛顿方向为 。

  2. 从原点 x(0)x^{(0)} 到凸集 S={x∣x1+x2≥4, 2x1+x2≥6}S=\{x\mid x_1+x_2 \ge 4,\ 2x_1 + x_2 \ge 6\} 的最短距离为 。

  3. 设 XX 是 {0,1,2}\{0,1,2\} 上均匀分布的离散随机变量，离散随机变量 YY 的取值范围为 {−3,−2,−1,1,2,3}\{-3,-2,-1,1,2,3\}，互信息 I(X;Y)I(X;Y) 的最大值为 。

三、（12分，每小题6分）

1.

证明函数 f(x)=∣x∣f(x) = |x| 是实数域上的凸函数。

2.

设 SS 是 Rn\mathbb{R}^n 中的非空凸集，证明对于每一个整数 k≥2k \ge 2，若 x(1),x(2),…,x(k)∈Sx^{(1)}, x^{(2)},\ldots, x^{(k)} \in S，则 ∑i=1kλix(i)∈S\sum_{i=1}^k \lambda_i x^{(i)} \in S，其中 λ1+λ2+⋯+λk=1\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_k = 1（λi≥0\lambda_i \ge 0，i=1,2,…,ki=1,2,\ldots,k）

四、（10分）

设函数 f(x)f(x) 为 Rn\mathbb{R}^n 上的凸函数，证明：如果 f(x)f(x) 在某点 x∈Rnx \in \mathbb{R}^n 处具有全局极大值，则对一切 x∈Rnx \in \mathbb{R}^n，f(x)f(x) 都为常数。

五、（10分）

ff 为正定二次函数 f(x)=12xTAx+bTxf(x) = \frac12 x^\mathrm{T} A x + b^\mathrm{T} x，dkd^k 为下降方向，xkx^k 为当前迭代点，求精确线搜索步长：

ak=arg⁡min⁡a>0f(xk+adk)a_k = \arg\min_{a > 0} f(x^k + a d^k)

并由此推出当前迭代点最速下降法的精确线搜索步长。

六、（10分）

已知 X1,X2,…,Xn∼Unif(0,1)X_1, X_2, \ldots, X_n \sim \mathrm{Unif}(0,1)，为一列独立的 0–1 均匀分布的连续随机变量，有 Y=max⁡{X1,X2,…,Xn}Y = \max\{X_1, X_2, \ldots, X_n\}。求随机变量 YY 的数学期望 E(Y)E(Y)。

七、（11分）

设 θ\theta 是一批产品的不合格率，假定它只能是 0.10.1、0.20.2 或 0.30.3，并且已知其先验分布为：

{p(θ=0.1)=0.2,p(θ=0.2)=0.3,p(θ=0.3)=0.5,\begin{cases} p(\theta = 0.1) = 0.2,\\ p(\theta = 0.2) = 0.3,\\ p(\theta = 0.3) = 0.5, \end{cases}

从这批产品中随机抽取 5 个进行检查，发现其中有 2 个不合格，求 θ\theta 的后验分布（保留小数位后两位）。

八、（11分）

对任意非零实矩阵 A=(aij)A = (a_{ij})（即 aija_{ij} 为矩阵 AA 的第 ii 行第 jj 列元素），证明：∑aij2=∑σi2\sum a_{ij}^2 = \sum \sigma_i^2，其中 σ1,σ2,…\sigma_1, \sigma_2, \ldots 为矩阵 AA 的所有奇异值。