24-25-2-高等数学A（下）-期末

一 填空题

  1. f=xyyzf=x^yy^z, 则 ∂f∂y+∂f∂z=\frac{\partial f}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial z}=【暂无答案】.

  2. DD 是 x2+y2+z2=R2x^2+y^2+z^2=R^2 的外侧, 则 ∯D2x dy dz+3y dz dx−4z dx dy=\oiint_D2x\,\mathrm dy\,\mathrm dz+3y\,\mathrm dz\,\mathrm dx-4z\,\mathrm dx\,\mathrm dy=【暂无答案】.

  3. ∑n=0∞xn(2n−1)(2n)\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{(2n-1)(2n)} 的收敛域是 【暂无答案】.

三

求 z0=x2y(4−x−y)z_0=x^2y(4-x-y) 在由 x+y=6x+y=6, xx 轴, yy 轴围成的区域内的最大值和最小值.

答案 / 解析

最大值为 44, 在(2,1)处取得

最小值为 −64-64, 在(4,2)处取得

四

x6+y6=1x^6+y^6=1, 求 ∮Cx2 dx+y2 dy\oint_Cx^2\,\mathrm dx+y^2\,\mathrm dy.

答案 / 解析

00

六

已知区域 DD 是由 0≤x≤a0\le x\le a, 0≤y≤a0\le y\le a, 0≤z≤a0\le z\le a 的外侧, 求 ∯Dx2 dy dz+y2 dz dx+z2 dx dy\oiint_Dx^2\,\mathrm dy\,\mathrm dz+y^2\,\mathrm dz\,\mathrm dx+z^2\,\mathrm dx\,\mathrm dy.

答案 / 解析

3a43a^4

七

已知级数 ∑n=1∞n+1nxn\sum_{n=1}^\infty\frac{n+1}{n}x^n, 求它的和函数 S(x)S(x).

八

f(x)={1+cos⁡xπ−x,0<x<πx,−π≤x<0f(x)=\begin{cases}\frac{1+\cos{x}}{\pi-x},&0<x<\pi\\x,&-\pi\le x<0\end{cases}

它的以 2π2\pi为周期的傅里叶展开的和函数为S(x)S(x)，求 S(−3π)S(-3\pi)

答案 / 解析

−π2-\frac{\pi}{2}