24-25-2-概率论与随机过程-期末

一、填空选择题（每小题4分，共40分）

1. 把 $\{B,U,P,T\}$ 四个字母分别写在四张同样的卡片上，并且将卡片放入同一盒中，现从盒中任意一张一张地将卡片取出，并将其按取到的顺序排成一列，则排列结果恰好拼成 $BUPT$ 的概率是 【显示答案】 1/24。

2. 将一骰子掷两次，则第一次的点数是第二次的点数的 2 倍的概率为 【显示答案】 1/12。

3. 设两两独立的事件 $A,B,C$ 满足 $ABC=\phi$，$P(A)=P(B)=P(C)<\frac12$，且 $P(A\cup B\cup C)=\frac9{16}$，求 $P(A)=$ 【显示答案】 1/4。

4. 设二维随机变量 $(X,Y)$ 服从正态分布 $N(1,0;1,1;0)$，则 $P\{XY-Y<0\}=$ 【显示答案】 1/2。

5. 设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且均服从二项分布 $b(2,p)$，若 $P\{X+Y=2\}=\frac8{27}$，则 $P\{Y=0\}=$ 【显示答案】 1/9或4/9。

6. 设随机变量 $X_1,X_2,\dots,X_n$ 相互独立，且均服从 $(0,1)$ 上的均匀分布，则 $V=\operatorname{min}\{X_1,\dots,X_n\}$ 和 $M=\operatorname{max}\{X_1,\dots,X_n\}$ 的数学期望分别为 ( )。

$\frac1n,\,\frac{n-1}n$

$\frac1{2n},\,\frac{2n-1}{2n}$

$\frac1n,\,\frac n{n+1}$

$\frac1{n+1},\,\frac n{n+1}$

检查

7. 将一粒骰子投掷 $180$ 次，利用中心极限定理可得点数 $6$ 至多出现 $35$ 次的概率近似为 ( )。

$\Phi(0.25)$

$\Phi(0.5)$

$\Phi(0.75)$

$\Phi(1)$

检查

8. 设齐次马氏链 $\{X_n,n\ge0\}$ 的状态空间 $E=\{0,1\}$，转移矩阵为 $\left(\begin{matrix}a&1-a\\1-b&b\end{matrix}\right)$，其中 $a,b\in(0,1)$，$\lim_{n\rightarrow\infty}(p_{01}(n)+p_{10}(n))=$ 【显示答案】 $1$。

9. 设平稳过程 $\{X(t),0\le t\le+\infty\}$ 的功率谱密度为 $S_X(\omega)=\frac{4\omega^2}{\omega^4+5\omega^2+4}$，则其平均功率为 【显示答案】 $\frac23$。

10. 设 $\{N(t),0\le t\le+\infty\}$ 是强度为 $\lambda$ 的泊松过程，则 $P\{N(2)=3,\,N(4)=4,\,N(5)=6\}=$ 【显示答案】 $\frac43\lambda^6\mathrm e^{-5\lambda}$。

二、（10分）

某地区开展某种罕见病的普查工作，已知该疾病在人群中的患病率为 $3\%$。

现有一种检测方法，对患病者的检测准确率（真阳性率）为 $95\%$，对未患病者检测误判率（假阳性率）为 $10\%$。今有一人检测结果为阳性，

1. 求任意选取一人，其检测结果为阳性的概率。

› 答案 / 解析

$12.55\%$

2. 若已知某人检测结果为阳性，求其实际患病的概率。

› 答案 / 解析

$22.71\%$

三、（15分）

已知随机变量 $X$ 与 $Y$ 的分布律分别为 $X\sim\left[\begin{matrix}-1&0&1\\\frac14&\frac12&\frac14\end{matrix}\right],\ Y\sim\left[\begin{matrix}0&1\\\frac12&\frac12\end{matrix}\right]$，而且 $P\{XY=0\}=1$。

1. 求 $P\{\operatorname{max}(X,Y)=1\}$；

› 答案 / 解析

$P\{\max(X,Y)=1\}=\frac34$

2. 求 $X$ 与 $Y$ 的相关系数 $\rho_{XY}$，问 $X$ 是否与 $Y$ 相关？

› 答案 / 解析

相关系数 $\rho_{XY}=0$，$X$ 与 $Y$ 不相关。

3. 问 $X$ 是否与 $Y$ 独立？为什么？

› 答案 / 解析

$P\{X=0,Y=0\}\ne P\{X=0\}P\{Y=0\}$，因此 $X$ 与 $Y$ 不独立。

四（15分）

设随机变量 $X$ 的概率密度为

$$f(x)=\begin{cases}6x(1-x),&0<x<1\\0,&\text{其它}\end{cases}$$

在 $X=x\;(0<x<1)$ 的条件下，随机变量 $Y$ 服从区间 $(x,1)$ 上的均匀分布。

1. 求 $X$ 与 $Y$ 的联合概率密度；

› 答案 / 解析

$$f(x,y)=\begin{cases} 6x,&0<x<y<1\\ 0,&\text{其它} \end{cases}$$

2. 求 $Y$ 的概率密度函数；

› 答案 / 解析

$$f_Y(y)=\begin{cases} 3y^2,&0<y<1\\ 0,&\text{其它} \end{cases}$$

3. 求 $E(XY)$。

› 答案 / 解析

$E(XY)=\frac25$

五（15分）

李四在图上随机游动，规则如下：如果李四当前时刻在节点 1，则他下一时刻在节点 1、节点 2、节点 3的概率均为 $\frac13$；如果李四当前时刻在节点 2，则他下一时刻在节点 1、节点 2、节点 3的概率均为 $\frac13$；如果李四当前时刻在节点 3，则他下一时刻在节点 1、节点 2、节点 3、节点 4的概率均为 $\frac14$。如果李四当前时刻在节点 4，则他下一时刻在节点 3、节点 4的概率均为 $\frac12$；初始时刻李四在节点 2。设 $X(n)$ 为 $n$ 时刻李四所在的节点位置。

1. 试说明 $X(n)$ 是一个状态空间为 $\{1,2,3,4\}$ 的时齐马氏链，并写出其一步转移概率矩阵；

› 答案 / 解析

$$\left(\begin{matrix} \frac13&\frac13&\frac13&0\\ \frac13&\frac13&\frac13&0\\ \frac14&\frac14&\frac14&\frac14\\ 0&0&\frac12&\frac12 \end{matrix}\right)$$

2. 求 $P\{X(2)=3,X(3)=4,X(5)=1\}$；

› 答案 / 解析

$P\{X(2)=3,X(3)=4,X(5)=1\}=\frac{11}{1152}$

3. 证明 $X(n)$ 具有遍历性；

› 答案 / 解析

不可约性：节点1-2-3-4(1到4可达)；节点4-3-1(4到1可达)；节点4-3-2(4到2可达)；节点2-3-4(2到4可达)；

因此所有节点互通，马氏链具有不可约性。

非周期性：

$P(1,1)=\frac13>0,\;P(2,2)=\frac13>0,\;P(3,3)=\frac14>0,\;P(4,4)=\frac12>0$

因此马氏链的任意状态周期为1，具有非周期性

故马氏链具有遍历性

4. 求李四在时间充分长时位于节点 1 时的概率，即 $\lim_{n\rightarrow\infty}P\{X(n)=1\}$。

› 答案 / 解析

$\frac14$

六（5分）

$X(t)$, $Y(t)$ 是两个相互独立的平稳随机过程，均值函数分别为 $\mu_X$, $\mu_Y$，相关函数分别为 $R_X(\tau)$, $R_Y(\tau)$，定义：$Z(t)=aX(t)+bY(t)$，$a,b$ 为常数。

求证：$Z(t)$ 是平稳随机过程。