24-25-2-数字信号处理-期中

一、填空（每题2分，共30分）

序列 $x(n)=2025\cos\left(\frac{3\pi n}7+\frac\pi2\right)$ 的周期是【暂无答案】。
系统 $\textstyle y(n) = a + \sum_{m=-9}^{9} x(n - m),\quad a \ne 0$ 是【暂无答案】（因果/非因果）系统，【暂无答案】（线性/非线性）系统。
一个线性时不变系统的差分方程为 $y(n) = x(n) + 3x(n-1) + 2x(n-2)$ ，该系统的频率响应方程为【暂无答案】。
快速傅里叶变换（FFT）算法利用了 $W_N$ 的【暂无答案】特性来减少计算量。
采用基-2 DIF-FFT 计算某序列64点的 DFT ，总共用到【暂无答案】个蝶形运算。
对一个模拟信号以64kHz的取样频率进行取样后计算1024点的DFT，其频率分辨率为【暂无答案】。
利用基-2 DIF-FFT 计算序列 $\{2,1,3,4\}$ 的4点 DFT ，则第一级计算结果为【暂无答案】。
$x_n$ 和 $h_n$ 均为4点实数列，其线性卷积的结果为 $\{1,1,1,1,1,1,1\}$ ，则两者4点的循环卷积的结果为【暂无答案】。
已知两个有限长序列 $x(n), 7 \le n \le 26$ ，和 $y(n), 0 \le n \le 29$ 。两个序列线性卷积结果 r(n) 长度为【暂无答案】。对这两个序列分别进行32点 DFT ，并将两个 DFT 结果相乘后进行 IDFT 得到一个32点时间序列 z(n) 。z(n) 和 r(n) 相同的点的序号为【暂无答案】。
已知某离散时间信号 $2\delta(n+1)+3\delta(n)+a\delta(n-1)$ ，其 DTFT 在频率 $\omega =\pi$ 处的频率响应值为0，则 a = 【暂无答案】。
若一有限长序列 $x(n)$ 的 DFT 结果为 $\{2,0,2\}$ ，则 $\mathrm{Re}{x(n)}$ 的 DFT 结果为？

二、计算（70分）

1.（12分）

假定一个线性时不变系统的系统函数为 $\mathit{H}(z) = a + bz^{-1} + cz^{-2}$ ，且满足 $a^2 + b^2 + c^2 = 1,\; a > 0$ ，以及 $H(e^{j\pi}) = H(e^{j0}) = 0$ 。

求单位冲激响应 $h(n)$ 。
请定性画出幅频响应 $\left| H(e^{j\omega}) \right|$ 的波形。

2. （15分）

已知离散时间系统的差分方程为 $y(n)=1.7y(n-1)-0.6y(n-2)+x(n)-0.3x(n-1)$ 。

求系统函数 $H(z)$ ，并画出其零极点分布图。
判断该系统的稳定性。
用留数法求使上述差分方程为因果系统的单位冲激响应 $h(n)$ 。

3. （12分）

（情境省略）假设滤波器的单位冲激响应为 $\{1,-1,2\}$ ，信号为 $x(n)=\{2,4,-1,3,1,5,-2,0\}$ ，请采用重叠相加法计算滤波后的结果，要求每段输入的长度为3.

4. （10分）

已知连续时间信号 $x(t)$ 由以下三个正弦信号叠加而成： $x(t) = \cos(600\pi t)+2\sin(400\pi t)+0.5\cos(200\pi t)$ 。

求该信号的最高频率和对应的奈奎斯特频率。
若以取样频率 $f_{s}=400\,\mathrm{Hz}$ 对 $x(t)$ 进行取样，是否会发生混叠？若发生，哪些成分发生了混叠？
若要求从取样后的信号中无失真的恢复原始信号 $x(t)$ ，需要满足什么条件？简述实现过程？

6. （9分）

若有限长序列 x(n) 的 DFT 结果为 $\{2,4+j,0,4+j,1\}$ ，求 $x(n)W_{10}^{2n} + \mathrm j\operatorname{Im}[x(n)]$ 的5点 DFT 结果。