24-25-2-大学物理B（上）-期中

题目1（25分）

一气球从地面以速率 $v_{0}$ 匀速上升，由于风的影响，上升过程中，其水平速率按 $v_{x} = by$ 的规律增大，其中 $y$ 为气球离地面的高度， $b$ 为正的常量。试求：

气球的运动学方程；

答案 / 解析

在如图所示的直角坐标系下，当 $t = 0$ 时, 气球位于坐标原点（即地面），则有

\frac{dx}{\mathrm dt} = by

\frac{dy}{\mathrm dt} = v_{0}

积分得

\int_{0}^{y}{\mathrm d}y = \int_{0}^{t}v_{0}\,\mathrm dt

y = v_{0}t

\int_{0}^{x}{\mathrm d}x = \int_{0}^{t}bv_{0}t\,\mathrm dt

x = \frac{1}{2}bv_{0}t^{2}

于是, 气球的运动学方程为

\mathbf{r} = \frac{bv_{0}}{2}t^{2}\mathbf{\ }\mathbf{i} + v_{0}t\ \mathbf{j}

气球运动的切向加速度和法向加速度；

答案 / 解析

气球的速度大小

v = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}} = \sqrt{b^{2}y^{2} + v_{0}^{2}} = v_{0}\sqrt{b^{2}t^{2} + 1}

气球的切向加速度大小

a_{t} = \frac{\mathrm dv}{\mathrm dt} = \frac{b^{2}v_{0}t}{\sqrt{b^{2}t^{2} + 1}} = \frac{b^{2}v_{0}y}{\sqrt{b^{2}y^{2} + v_{0}^{2}}}

气球的总加速度为

\mathbf{a} = \frac{\mathrm d^{2}\mathbf{r}}{\mathrm dt^{2}} = bv_{0}\mathbf{\ }\mathbf{i}

于是，法向加速度的大小为

a_{n} = \sqrt{a^{2} - a_{t}^{2}} = \frac{bv_{0}^{2}}{\sqrt{b^{2}y^{2} + v_{0}^{2}}}

轨迹曲率半径与高度 $y$ 的关系。

答案 / 解析

利用 $a_{n} = \frac{v^{2}}{\rho}$ 可得轨迹的曲率半径

\rho = \frac{v^{2}}{a_{n}} = \frac{\left( b^{2}y^{2} + v_{0}^{2} \right)^{3/2}}{bv_{0}^{2}}

题目2（25分）

如图所示，升降机中有一质量为 $m_{1}$ 的物体A，它以绕过滑轮的绳索与质量为 $m_{2}$ 的物体B相连，物体A与台面之间无摩擦。当升降机以 $a$ 的加速度加速上升时，试求：

以升降机为参考系，A、B两物体的加速度是多大？

答案 / 解析

选机外地面的 $xOy$ 为定坐标系，升降机的 $x'O'y'$ 为动坐标系。对A、B做受力分析如下图所示：

用 $a'_{A}$ 和 $a'_{B}$ 分别代表 A、B 的相对加速度。用 $a_{A}$ 、 $a_{B}$ 分别代表 A、B 物体相对地面参考系 $xOy$ 的加速度， $x'O'y'$ 相对于 $xOy$ 的加速度为 $a$ ，方向沿 $y$ 轴向上。

由受力分析可知:

对 A

a_{Ax} = a'_{Ax} + 0 = a'_{A}

a_{Ay} = a'_{Ay} + a = a

对 B

a_{Bx} = a'_{Bx} + 0 = 0

a_{By} = a'_{By} + a = - a'_{B} + a

应用牛顿定律则有：

对 A

T = m_{1}a_{Ax} = m_{1}a'_{A}

N - P_{A} = m_{1}a_{Ay} = m_{1}a

对 B

T' - P_{B} = m_{2}a_{By} = m_{2}\left( a - a'_{B} \right)

又 $T' = T$ ， $a'_{A} = a'_{B}$

则联立方程解得

a'_{A} = a'_{B} = \frac{m_{2}(a + g)}{m_{1} + m_{2}}

以机外地面为参考系，A、B两物体的加速度是多大？

答案 / 解析

a_{Ax} = a'_{A} = \frac{m_{2}(a + g)}{m_{1} + m_{2}}

a_{By} = a - a'_{B} = \frac{m_{1}a - m_{2}g}{m_{1} + m_{2}}

又有 $a_{Ay} = a$ ， $a_{Bx} = 0$

则有 A、B 两物体相对地面的加速度为

a_{A} = \sqrt{a_{Ax}^{2} + a_{Ay}^{2}} = a\sqrt{1 + \frac{m_{2}^{2}{(1 + g/a)}^{2}}{{(m_{1} + m_{2})}^{2}}}

a_{B} = a_{By} = \frac{m_{1}a - m_{2}g}{m_{1} + m_{2}}

题目3（25分）

如图所示，一个质量 $m=4 \text{kg}$ 表面光滑的凹槽，静止放在光滑的水平地面上，槽的凹面呈圆弧形，其半径 $R=0.2 \text{m}$ ，槽的A端与圆弧中心O点在同一平面上，B端与O点的连线与竖直方向间的夹角 $\theta=60$ °。今有一质量 $m'=1 \text{kg}$ 的小滑块自A端从静止开始沿槽面滑下。当小滑块在B端滑出时，求：

小滑块和凹槽相对地面的速度。

答案 / 解析

取A点为重力势能零点，凹槽相对地面的速度为 $u$ ，方向水平向右，滑块相对地面的速度为 $v$ ，方向斜向上，相对于凹槽的速度为 $v'$ ，方向如下图所示：

根据能量守恒可知

0 = \frac{1}{2}m'v^{2} + \frac{1}{2}mu^{2} - m'gR\cos\theta

根据水平方向上的动量守恒可知

0 = mu + m'v_{x} = mu + m'( - v'\cos\theta + u)

根据余弦定理可得

v^{2} = v'^{2} + u^{2} - 2uv'\cos\theta

联立以上各式并代入数据，解得：

u = \sqrt{2gR}m'\cos\theta\sqrt{\frac{\cos\theta}{(m + m')\left\lbrack (m + m') - m'\cos^{2}\theta \right\rbrack}} = \frac{2}{\sqrt{190}}\ \text{m/s}

v = \sqrt{\frac{2m'gR\cos\theta - mu^{2}}{m'}} = \sqrt{\frac{182}{95}}\ \text{m/s}

v_{x} = \frac{- mu}{m'} = - \frac{8}{\sqrt{190}}\ \text{m/s}

小滑块速度方向：与水平向右方向的夹角为 $\arccos\frac{- 4}{\sqrt{91}}$

凹槽相对地面移动的距离。

答案 / 解析

小滑块和凹槽组成的系统的质心水平方向合外力为0，故质心位置的水平分量不变（假设初始时为0）：

mx_{m} + m'x_{m'} = 0

另外有 $x_{m} - x_{m'} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2}R$ ，故

x_{m} = \frac{2 + \sqrt{3}}{10}R

题目4（25分）

如图所示， $O$ 为一有心力的力心，排斥力与距离平方成反比： $f = k/r^{2}$ （ $k$ 为一常量）。现有一质量为 $m$ 的粒子以速度 $v_{0}$ 、瞄准距离 $b$ 从远处（此区域有心力可近似为0）入射。试求：

此有心力的势能；

答案 / 解析

斥力 $f = k/r^{2}$ 为保守力，根据势能定义，并规定无穷远为势能零点，则力场的势能为

E_{p}(r) = \int_{r}^{\infty}\frac{k}{r^{2}}dr = - k\int_{r}^{\infty}d\left( \frac{1}{r} \right) = \frac{k}{r}

粒子能达到的最近距离 $R$ 和此时刻的速度大小 $v$ 。

答案 / 解析

在有心力场中运动的粒子对力心 $O$ 的角动量守恒,若以从远处入射时为初态，到达与力心最近距离处为终态，如下图所示，初态时径矢为 $r_0$ ，终态时径矢为 $R$ ，

终态角动量守恒为：

r_{0}\times mv_{0}=R\times mv

初态角动量的大小为

L_{0} = r_{0}mv_{0}\sin(\pi - \theta) = \left( r_{0}\sin\theta \right)mv_{0} = bmv_{0}

最近距离处 $\mathbf{R}$ 与 $m\mathbf{v}$ 垂直，则终态角动量大小为

L = Rmv

故有

bmv_{0} = Rmv

机械能守恒：

\frac{1}{2}mv_{0}^{2} = \frac{1}{2}mv^{2} + \frac{k}{R}

联立以上两式，可得

R^{2} - \frac{2k}{mv_{0}^{2}}R - b^{2} = 0

解得：

R = \frac{k}{mv_{0}^{2}} + \sqrt{\frac{k^{2}}{m^{2}v_{0}^{4}} + b^{2}}

v = \frac{b}{R}v_{0}