24-25-2-系统辨识与建模-期末

说明：所有计算题需写出详细公式和步骤，结果保留三位小数。

一、简答题（共5小问，每题7分）

说明什么是系统辨识并写出系统辨识的三要素。

什么是白噪声和有色噪声，并说明有色噪声如何白化。

解释“持续激励信号”的定义，并说明其在系统辨识中的作用。

数据病态会导致最小二乘估计失效，分析其产生原因及解决方法。

卡尔曼滤波中过程噪声 $w_{k}$ 和观测噪声 $v_{k}$ 的协方差矩阵 $Q_{k}$ 和 $R_{k}$ 如何影响滤波性能？

实验测得某物体温度 $y$ （℃）随时间 $t$ （小时）的变化数据如下：

$t$	1	2	3	4
$y$	5	7	9	11

假设模型为 $y = at + b$ 。

三个传感器测量同一物理量 $x$ ，建立观测模型 $y = Hx + v$ ，测量数据如下：

考虑连续时间系统：

G ( s ) = \frac { K } { s + a } \quad ( K = 2 , \, a = 1 )

使用双线性变换法（ $s=\frac{2}{T}\cdot\frac{z-1}{z+1}$ ），采样周期 $T=1$ 秒。

将 $G(s)$ 转换为离散传递函数 $G(z)$ ，推导其表达式并表示为：

G ( z ) = \frac { b _ { 0 } + b _ { 1 } z ^ { - 1 } } { 1 + a _ { 1 } z ^ { - 1 } }

求 $a_{1}$ 、 $b_{0}$ 、 $b_{1}$ 的数值表达式。

实验测得输入输出数据如下：

$k$	0	1	2	3
$u(k)$	1.2	0.6	0.3	0.3
$y(k)$	0.0	1.2	0.9	0.7

假设模型结构为：

y ( k ) = - a _ { 1 } y ( k - 1 ) + b _ { 0 } u ( k ) + b _ { 1 } u ( k - 1 ) + e ( k )

初始估计为 $\hat { \theta } _ { 0 } = [ 0 , 0 , 0 ] ^ { \top }$ ，协方差矩阵 $P _ { 0 } = 1 0 0 0 I$ 。

要求：

离散系统动态方程为：

x _ { k } = \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] x _ { k - 1 } + w _ { k - 1 } , \quad w _ { k } \sim \mathcal { N } ( 0 , Q ) , \quad Q = \left[ \begin{array} { l l } { 0 . 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 . 1 } \end{array} \right]

观测方程为：

y _ { k } = [ 1 \quad 0 ] x _ { k } + v _ { k } , \quad v _ { k } \sim \mathcal { N } ( 0 , R ) , \quad R = 0 . 5

已知初始状态 $\hat{x}_{0|0}=\left[\begin{array}{l}0\\0\end{array}\right], P_{0|0}=I_{c}$

计算一步预测 $\hat{x}_{1|0}$ 和预测协方差 $P_{1|0}$ ；（5 分）

计算卡尔曼增益 $K_{1}$ ；（5 分）

若 $y_{1}=2.0$ ，更新状态估计 $\hat{x}_{1|1}$ 和协方差 $P_{1|1}$ 。（5 分）