24-25-2-电磁场与电磁波-期中

一 单项选择题 (每题 2 分，共 20 分)

1. 关于矢量恒等式，如下表达式中正确的是 ( ).

$\nabla\cdot(\nabla\times\overrightarrow A)=0$

$\nabla\times(\nabla\times\overrightarrow A)=0$

$\nabla\cdot(\nabla\cdot\overrightarrow A)=0$

$\nabla\times(\nabla\cdot\overrightarrow A)=0$

检查

2. 如下场景中，直接描述电场的是 ( ).

$\overrightarrow A$

$\overrightarrow B$

$\overrightarrow E$

$\overrightarrow H$

检查

3. 对静电场而言, 如果散度, 旋度存在, 则总是正确的是 ( ).

$\nabla\times\overrightarrow D=0$

$\nabla\cdot\overrightarrow E=0$

$\nabla\cdot\overrightarrow D=0$

$\nabla\times\overrightarrow E=0$

检查

4. 已知稳态电场（静电场, 恒定电场）某分界面两侧的切向电场为 $E_{1t}$ 和 $E_{2t}$, 且分界面上有自由面电荷密度 $\rho_s$, 则 ( ).

$E_{1t}-E_{2t}=\rho_s$

$E_{1t}+E_{2t}=\rho_s$

$E_{1t}=-E_{2t}$

$E_{1t}=E_{2t}$

检查

5. 有关体电流密度 $\overrightarrow J$, 面电流密度 $\overrightarrow J_s$ 与电流强度 $I$ 的关系, 正确的是 ( ).

$I=\int\overrightarrow J\cdot\mathrm dV$

$I=\int\overrightarrow J_S\cdot\mathrm d\overrightarrow S$

$I=\int\overrightarrow J\cdot\mathrm d\overrightarrow S$

$I=\int\overrightarrow J_S\cdot\mathrm dV$

检查

6. 电荷守恒方程是 ( ).

$\nabla\cdot\overrightarrow J=\frac{\partial\rho}{\partial t}$

$\nabla\cdot\overrightarrow J=-\frac{\partial\rho}{\partial t}$

$\nabla\times\overrightarrow J=\frac{\partial\rho}{\partial t}$

$\nabla\times\overrightarrow J=-\frac{\partial\rho}{\partial t}$

检查

7. 如下表达式中, 正确描述恒定磁场中磁通连续特性的是 ( ).

$\nabla\cdot\overrightarrow B=0$

$\nabla\times\overrightarrow B=\overrightarrow J$

$\nabla\cdot\overrightarrow B=\overrightarrow J$

$\nabla\times\overrightarrow B=0$

检查

8. 如下有关恒定磁场边界条件的描述中, 错误的是 ( ).

$B_{1n}=B_{2n}$

$H_{1n}=H_{2n}$

$\overrightarrow J_s=\overrightarrow e_{n1}\times(\overrightarrow H_1-\overrightarrow H_2)$

$\left|J_s\right|=\left|H_{1t}-H_{2t}\right|$

检查

9. 在如下关于电感的诸多表述中, 错误的是 ( ).

磁链 (磁通) 和电流强度的比值;

可以分为自感和互感两类;

单位长度圆柱体导线的内自感为 $\frac\mu{8\pi}$;

和形状 (匝数), 尺寸和材料无关.

检查

10. 对介电常数为 $\varepsilon$, 磁导率为 $\mu$, 电导率为 $\sigma$ 的媒质而言, 正确的表述是 ( ).

$\overrightarrow E=\sigma\overrightarrow J$

$\overrightarrow E=\varepsilon\overrightarrow D$

$\overrightarrow B=\mu\overrightarrow H$

前面的都不正确

检查

二 简答题 (共 15 分)

1 (7 分)

真空中某恒定磁场的磁感应强度矢量为 $\overrightarrow B$, 请结合相应的矢量磁位 $\overrightarrow A$ 的散度和旋度, 并推导无源区域 ($\overrightarrow J=0$) 中该矢量磁位所满足的偏微分方程 (备注: $\nabla\times\nabla\times\overrightarrow A=\nabla(\nabla\cdot\overrightarrow A)-\nabla^2\overrightarrow A$). 库仑规范: $\nabla\cdot\overrightarrow A=0$.

› 答案 / 解析

$$\begin{align*} &\nabla\cdot\overrightarrow A=0,\;\nabla\times\overrightarrow A=\overrightarrow B,\;\nabla\times\overrightarrow H=\overrightarrow J=0\\ \Rightarrow&\nabla\times\overrightarrow B=\nabla\times\mu_0\overrightarrow H=0\\ \Rightarrow&0=\nabla\times\nabla\times\overrightarrow A=\nabla(\nabla\cdot\overrightarrow A)=\nabla^2\overrightarrow A=-\nabla^2\overrightarrow A\\ \Rightarrow&\nabla^2\overrightarrow A=0 \end{align*}$$

2 (8 分)

图片暂缺 题图2.2.svg

第2.2题图

自由空间中半径为 $a$ 的空心接地导体球壳内有点电荷 $q$, 位于 $z=\frac a3$ 的位置, 如右图所示. 在使用镜像法分析球壳内静电场分布的过程中, 请指出镜像电荷的数量, 位置和电量.

› 答案 / 解析

1 个镜像电荷, 位于 $z=3a$ 的位置, 电量为 $-3q$

三 (10 分)

自由空间中 $r<a$ 区域内 (球坐标) 填充了介电常数为 $\varepsilon$ 的电介质. 如果该区域内的电位函数为 $\varphi(r)=Cr^2-Ca^2\left(1+\frac{2\varepsilon}{\varepsilon_0}\right)$, 请分析回答如下问题.

1. 区域 ($r<a$) 内的电场强度分布;

› 答案 / 解析

$\overrightarrow E=-\nabla\varphi(r)=-2Cr\overrightarrow e_r$

2. 区域 ($r<a$) 内的自由体电荷密度分布;

› 答案 / 解析

$\rho=\nabla\cdot\overrightarrow D=\nabla\cdot(\varepsilon\overrightarrow E)=-6C\varepsilon$

3. 区域 ($r<a$) 内静电场的总能量.

› 答案 / 解析

$W_e=\int_V\frac12\varepsilon E^2\mathrm dV=\int_0^a\frac\varepsilon24C^2r^24\pi r^2\mathrm dr=\frac85\pi\varepsilon C^2a^5$

四 (10 分)

已知空气与磁介质 ($\mu_r=50$) 的分界面为 $z=0$. 如果该分界面上空气一侧 ($z<0$) 的磁场强度为 $\overrightarrow H=A\overrightarrow e_x+B\overrightarrow e_y+C\overrightarrow e_z$.

1. 如果该分界面是无源分界面, 请给出边界另一侧的磁场强度表达式;

› 答案 / 解析

$\overrightarrow H'=A\overrightarrow e_x+B\overrightarrow e_y+\frac C{50}\overrightarrow e_z$

2. 如果边界另一侧的磁场强度为 $\overrightarrow H'=D\overrightarrow e_x+E\overrightarrow e_y+F\overrightarrow e_z$, 请给出分界面上的自由面电流密度表达式.

› 答案 / 解析

$\overrightarrow J_s=\overrightarrow e_z\times(\overrightarrow H'-\overrightarrow H)=(D-A)\overrightarrow e_y+(B-E)\overrightarrow e_x$

五 (10 分)

图片暂缺 题图5.svg

第5题图

结合如右图所示的无源平面区域内静电场的边值问题, 回答:

1. 写出相应的定解问题;

› 答案 / 解析

$$\begin{cases} \nabla^2\varphi=0\\ \varphi(x=0)=0,\varphi(x=a)=U\\ \varphi(y=0)=0,\varphi(y=b)=0 \end{cases}$$

2. 利用分离变量法求解上述定解问题, 得到区域内的电位分布. (备注: 对结果中涉及傅立叶级数展开的相关计算, 不做要求)

› 答案 / 解析

$\varphi=\sum_{n=1}^\infty A_m\sin\frac{m\pi}b\sin\left(\frac{m\pi}by\right)$