24-25-2-电磁场与微波-期中

一、单项选择题

1. 填空中的点电荷 $Q$, 它的电场强度 $\overrightarrow{E}$ 可以表示为 ( ).

$\frac{Q^2}{4\pi\varepsilon_0R^2}\overrightarrow{e_R}$

$\frac{Q\overrightarrow R}{4\pi\varepsilon_0R^3}$

$\frac{Q^2}{4\pi\varepsilon_0R^2}\overrightarrow{e_R}$

$\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0R^3}\overrightarrow{e_R}$

检查

2. 位于静电场 $\overrightarrow{E}$ 中的导体,其内部电场强度为 ( ).

$2\overrightarrow E$

$0$

$-\overrightarrow E$

$\overrightarrow E\cdot\overrightarrow{e_n}$

检查

3. 根据静电场边界条件,两种电介质 $\overrightarrow{D_1},\,\overrightarrow{D_2}$ 之间正确的关系是 ( ).

$D_{1n}\varepsilon_2=\varepsilon_1D_{2n}$

$D_{1n}=D_{2n}$

$D_{1t}\varepsilon_2=\varepsilon_1D_{2t}$

$D_{1t}=D_{2t}$

检查

4. 在无源介质 $(\varepsilon,\mu)$ 中有时变电磁场 $(\overrightarrow E,\overrightarrow D,\overrightarrow H,\overrightarrow B)$, 位移电流的体密度在时域中可表示为 ( ).

$\nabla\times\overrightarrow E$

$j\omega\overrightarrow D$

$j\omega\overrightarrow B$

$\frac{\partial\overrightarrow D}{\partial\overrightarrow t}$

检查

5. 对于矢量场 $\overrightarrow E$, 由 Gauss 定理和 Stokes 定理,下列哪个是正确的? ( )

$\int_V(\nabla\cdot\overrightarrow E)\,\mathrm dV=\oint_C\overrightarrow E\cdot\mathrm d\overrightarrow l$

$\int_V(\nabla\times\overrightarrow E)\cdot\mathrm dV=\oint_S\overrightarrow E\cdot\mathrm d\overrightarrow S$

$\int_V(\nabla\cdot\overrightarrow E)\,\mathrm dV=\oint_S\overrightarrow E\cdot\mathrm d\overrightarrow S$

$\int_V(\nabla\times\overrightarrow E)\cdot\mathrm dV=\oint_C\overrightarrow E\cdot\mathrm d\overrightarrow l$

检查

6. 在恒定电流产生的电场中, 有关边界条件的表述哪一个是正确的 ( ).

$E_{1n}=E_{2n}$

$E_{1t}-E_{2t}=\rho_{s}$

$J_{1n}=J_{2n}$

$J_{1t}-J_{2t}=\rho_{s}$

检查

7. 关于恒定电流产生的电场,下列哪个选项是错误的 ( ).

$\nabla\times\overrightarrow E=0$

$p=\sigma J^2$

$\overrightarrow J=\sigma\overrightarrow E$

$\nabla\cdot\overrightarrow J=0$

检查

8. 有一电容其大小为 $a\times b$. 电容的大小定义式为 $C=\frac QU$, $Q$ 是电荷量, $U$ 是电势差. 因此, 如果 $Q=0$, 可知 ( ).

$C=0$

$a=0$

$a\times b=0$

$U=0$

检查

9. 关于磁矢位, 哪一个是正确的 ( ).

$\nabla\times\overrightarrow A=\overrightarrow B$

$\nabla\times\overrightarrow B=\overrightarrow A$

$\nabla\cdot\overrightarrow A=\overrightarrow B$

$\nabla\cdot\overrightarrow B=\overrightarrow A$

检查

10. 电磁场的物质方程描述了电磁场 $(\overrightarrow E,\overrightarrow D,\overrightarrow H,\overrightarrow B)$ 与介质 $(\varepsilon,\mu,\sigma)$ 之间的依赖关系.下列选项中哪个不属于物质方程 ( ).

$\overrightarrow D=\varepsilon\overrightarrow E$

$\overrightarrow B=\mu\overrightarrow H$

$\overrightarrow J=\sigma\overrightarrow E$

$\overrightarrow S=\overrightarrow S\times\overrightarrow H$

检查

二、判断对错

1. 静电场中 $\oint_S\overrightarrow D\cdot\,\mathrm d\overrightarrow S=0$, 这意味着在此闭合曲面中 $\overrightarrow D=0$. 【显示答案】 错
2. 从电场强度 $\overrightarrow E$ 的角度观察, 介质引入可能使总的电场强度减弱. 【显示答案】 对
3. 不论是静电场, 还是时变的电场, 电场强度 $\overrightarrow E$ 的旋度一定等于 $0$. 【显示答案】 错
4. 在恒定电流中, 电荷体密度 $\rho_F$ 不随时间变化, 因此可以得到 $\nabla\cdot\overrightarrow J=-\frac{\partial\rho_V}{\partial t}=0$. 【显示答案】 对
5. 单位时间流出一个闭合面的总电荷一定等于单位时间该闭合面内电荷的减小量. 【显示答案】 对
6. 穿过任何一个封闭曲面的磁通量恒为 $0$. 【显示答案】 对
7. 恒定电流产生的磁场不是保守场. 【显示答案】 对
8. 电荷能产生电场, 时变的磁场也能产生电场. 【显示答案】 对
9. 如果在边界面上没有自由电流的面密度, 磁场强度的切向分量是连续的. 【显示答案】 对
10. 坡印亭矢量的单位为瓦特, 表征了功率的传播. 【显示答案】 错

三、简答题

1. 某一区域中存在传导电流和自由电荷, 写出积分形式的麦克斯韦方程组.
2. 写出坡印廷定理的数学表达式, 并用文字说明坡印廷定理的内容.

四

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题图4

如图所示, 自由空间中两偏心球面的半径分别为 $a,\,b$, 其中 $a$ 为球面空腔, 其余部分均匀分布着密度为常数 $\rho$ 的体电荷, 试分析半径为 $a$ 的小球体空腔中任意一点 $P$ 点的电场强度.

五

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题图5

如图所示, 半径为 $a$ 的导体球带电荷 $q$, 球心位于两种介质的分界面上. 求:

1. 空间各区域中的电场分布;
2. 导体球面上的电荷分布;
3. 导体球的电容.

六

考虑一电导率 $\sigma$ (不为零) 的介质, 介电常数为 $\varepsilon$. 其介质特性和导电特性都是线性和各向同性的, 但都是非均匀的. 证明, 当介质中有恒定电流 $\overrightarrow J$ 的体电流时, 自由电荷的体密度为 $\rho=\overrightarrow J\cdot\nabla\left(\frac\varepsilon\sigma\right)$.

› 答案 / 解析

$$\begin{cases} \rho_V=\nabla\cdot\overrightarrow D\\ \overrightarrow D=\varepsilon\overrightarrow E \end{cases}\Rightarrow \rho_V=\nabla\cdot\overrightarrow D=\nabla\cdot(\varepsilon\overrightarrow E)=\nabla\varepsilon\cdot\overrightarrow E+\varepsilon\nabla\cdot\overrightarrow E$$

恒定电流中

$$\begin{cases} \nabla\cdot\overrightarrow J=0\\ \overrightarrow J=\sigma\overrightarrow E \end{cases}\Rightarrow \nabla\cdot\overrightarrow J=\nabla\cdot(\sigma\overrightarrow E)=\nabla\sigma\cdot\overrightarrow E+\sigma\nabla\cdot\overrightarrow E=0 \Rightarrow\nabla\cdot\overrightarrow E=-\frac{\nabla\sigma}\sigma\cdot\overrightarrow E$$

所以

$$\begin{align*} \begin{cases} \rho_V=\nabla\varepsilon\cdot\overrightarrow E+\varepsilon\nabla\cdot\overrightarrow E\\ \nabla\cdot\overrightarrow E=-\frac{\nabla\sigma}\sigma\cdot\overrightarrow E \end{cases}\Rightarrow \rho_V&=\nabla\varepsilon\cdot\overrightarrow E-\frac\varepsilon\sigma\nabla\sigma\cdot\overrightarrow E\\ &=\overrightarrow E\cdot(\nabla\varepsilon-\frac\varepsilon\sigma\nabla\sigma)\\ &=\sigma\overrightarrow E\frac{\sigma\nabla\varepsilon-\varepsilon\nabla\sigma}{\sigma^2}=\sigma\overrightarrow E\cdot\nabla\frac\varepsilon\sigma \end{align*}$$

七

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题图7

空气中一根长直导线与一个边长为 $a,\,b$ 的矩形线圈共面, 线圈宽边与直导线平行, 如图所示. 求线圈与直导线的互感.

八

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题图8

有一半径为 $a$ 的导体球, 所带电荷量为 $Q$. 在距离导体球中心 $d\,(d>a)$ 处有一点电荷 $q$.

1. 试确定镜像电荷的大小和位置;
2. 求外电荷 $q$ 所受到的静电力.