24-25-2-概率论与数理统计-期末

Φ(0)=0.5;Φ(1)=0.8413;Φ(2)=0.9772;Φ(3.1)=0.9990;z0.025=1.96;z0.05=1.645;F0.975(9,7)=0.2381;F0.025(9,7)=4.82;t0.025(16)=2.12;t0.05(16)=1.75;t0.025(24)=2.06;t0.05(24)=1.71;ξ0.0252(24)=39.364;ξ0.052(24)=36.415;ξ0.952(24)=13.848;ξ0.9752(24)=12.401;\begin{align*} &\Phi(0)=0.5;\quad\Phi(1)=0.8413;\quad\Phi(2)=0.9772;\quad\Phi(3.1)=0.9990;\\ &z_{0.025}=1.96;\quad z_{0.05}=1.645;\quad F_{0.975}(9,7)=0.2381;\quad F_{0.025}(9,7)=4.82;\\ &t_{0.025}(16)=2.12;\quad t_{0.05}(16)=1.75;\quad t_{0.025}(24)=2.06;\quad t_{0.05}(24)=1.71;\\ &\xi_{0.025}^2(24)=39.364;\quad \xi_{0.05}^2(24)=36.415;\quad \xi_{0.95}^2(24)=13.848;\quad\xi_{0.975}^2(24)=12.401; \end{align*}

一. 填空题（每小题3分, 共36分）

  1. 设一批产品中一、二、三等品占60%、30%、10%，从中随意地取出一件, 结果不是三等品, 则取到的是一等品的概率是 【暂无答案】.

  2. 已知 P(A)=0.8P(A)=0.8，P(AB‾)=0.1P(A\overline{B})=0.1，则 P(A‾B)=P(\overline{A}B)= 【暂无答案】.

  3. 设随机变量 XX 的概率密度为

f(x)={cos⁡x,0≤x≤π20,其它f(x)=\begin{cases}\cos x,&0\le x\le\frac\pi2\\0,&\text{其它}\end{cases}

对 XX 独立重复观察5次, 用 YY 表示观察值大于 π3\frac{\pi}{3} 的次数, 则 D(Y)=D(Y)= 【暂无答案】.

  1. 随机变量 XX 的概率密度为
f(x)={C1−x2,∣x∣<10,其它f(x)=\begin{cases}\frac C{\sqrt{1-x^2}},&\left|x\right|<1\\0,&\text{其它}\end{cases}

则 XX 落在区间 (−12,12)\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) 的概率是 【暂无答案】.

  1. 连续型随机变量 XX 的分布函数为
F(x)={Aex,x<0,B−Ae−x,其它F(x)=\begin{cases}A\mathrm e^x,&x<0,\\B-A\mathrm e^{-x},&\text{其它}\end{cases}

则 A+B=A+B= 【暂无答案】.

  1. 某地区每年交通事故数 XX 服从泊松分布, 每年发生8次交通事故的概率是发生10次交通事故的概率的2.5倍, 则 P{X=2}=P\{X=2\}= 【暂无答案】.

  2. 设 X,YX,Y 为两个随机变量, 且 P{X⩾0,Y⩾0}=37, P{X⩾0}=P{Y⩾0}=47,P\{X\geqslant0,Y\geqslant0\}=\frac{3}{7},\ P\{X\geqslant0\}=P\{Y\geqslant0\}=\frac{4}{7},

则 P{max⁡(X,Y)⩾0}=P\{\max(X,Y)\geqslant0\}= 【暂无答案】.

  1. 设 Z=X−YZ=X-Y, 其中随机变量 X,YX,Y 相互独立, 且都服从均值为0, 方差为 12\frac{1}{2} 的正态分布, 则 E(∣Z∣)=E(|Z|)= 【暂无答案】.

  2. 已知二维随机变量 (X,Y)∼N(0,0,1,4,12)(X,Y)\sim N(0,0,1,4,\frac{1}{2}), 则当 a=a= 【暂无答案】 时, 随机变量 Z=aX+YZ=aX+Y 与 YY 相互独立.

  3. 设总体 XX 服从指数分布, 且 E(X)=2E(X)=2, X1,⋯ ,XnX_1,\cdots,X_n 为来自该总体的简单随机样本, 则当 n→∞n\to\infty 时, 1n∑i=1nXi2\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^2 依概率收敛于 【暂无答案】.

  4. 设 X1,X2,⋯ ,X10X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{10} 与 Y1,Y2,⋯ ,Y15Y_{1}, Y_{2}, \cdots, Y_{15} 是来自总体 X∼N(20,6)X \sim N(20,6) 的两个独立随机样本, 则 P{∣X‾−Y‾∣<1}=P\{|\overline{X}-\overline{Y}|<1\}= 【暂无答案】.

  5. 用机器装罐头, 已知罐头重量服从正态分布 N(μ,0.022)N(\mu, 0.02^2). 随机抽取25个罐头进行测量, 计算得其样本均值 xˉ=1.01kg\bar{x} = 1.01\text{kg}, 则总体均值 μ\mu 的置信水平为0.95的置信区间为 【暂无答案】.

二（16分）

设随机变量 XX 的概率密度为

f(x)=Ce−∣x∣,−∞<x<∞.f ( x ) = C \mathrm { e } ^ { - | x | } , - \infty < x < \infty .
  1. 求常数 CC;
  2. 求 XX 的分布函数;
  3. 求 p=P{∣X∣<2}p=P\{|X|<2\};
  4. 求 Y=14X2Y=\frac{1}{4}X^{2} 的概率密度.

三（8分）

设 XX 和 YY 是两个相互独立的随机变量, XX 在 (0,1)(0,1) 上服从均匀分布, YY 的概率密度为

fY(y)={12e−y2,y>00,y≤0f_Y(y)=\begin{cases}\frac12\mathrm e^{-\frac y2},&y>0\\0,&y\le0\end{cases}
  1. 求 (X,Y)(X,Y) 的联合概率密度;
  2. 求 P{X2⩾Y}P\{X^2 \geqslant Y\};

四（10分）

一学生接连参加同一课程的两次考试. 第一次及格的概率为 pp, 若第一次及格则第二次及格的概率也为 pp; 若第一次不及格则第二次及格的概率为 p2\frac{p}{2}.

  1. 若已知他第二次已经及格, 求他第一次及格的概率.
  2. 若至少有一次及格则他能取得某种资格, 求他取得该资格的概率.

五（10分）

银行为支付某日即将到来的债券须准备一笔现金, 已知这批债券共发放了10000张, 每张须付本息100元, 设持券人(1人1券)到期日到银行领取本息的概率为0.5. 问银行应准备多少现金才能以99.9%的把握满足客户的兑换.

六（10分）

设总体 XX 的概率密度为

f(x;θ)={1θx1−θθ,0<x<10,其它  (0<θ<∞)f(x;\theta)=\begin{cases}\frac1\theta x^{\frac{1-\theta}\theta},&0<x<1\\0,&\text{其它}\end{cases}\;(0<\theta<\infty)

X1,X2,⋯ ,XnX_{1},X_{2},\cdots,X_{n} 是来自总体 XX 的样本.

  1. 求未知参数 θ\theta 的矩估计量;
  2. 求未知参数 θ\theta 的最大似然估计量;
  3. 未知参数 θ\theta 的最大似然估计量是否是无偏估计？

七（10分）

如果一个矩形的宽度 ww 与长度 ll 的比值 w/l≈0.618w/l \approx 0.618, 这样的矩形称为黄金矩形. 这种尺寸的矩形使人们看上去有良好的感觉. 现从某工艺品工厂随机取25个矩形, 这些矩形的宽度与长度的比值的均值是 x‾=0.648\overline{x} = 0.648, 标准差是 s=0.1s = 0.1. 假设这家工厂生产的矩形的宽度与长度的比值总体服从正态分布, 其均值为 μ\mu, 方差为 σ2\sigma^2, μ\mu 和 σ2\sigma^2 均未知.

  1. 试检验假设(取 α=0.05\alpha=0.05)
H0:μ=0.618,H1:μ≠0.618.H _ { 0 } : \mu = 0 . 6 1 8 , \quad H _ { 1 } : \mu \neq 0 . 6 1 8 .
  1. 试检验假设 (取 α=0.05\alpha=0.05 )
H0:σ2=(0.12)2,H1:σ2≠(0.12)2.H _ { 0 } : \sigma ^ { 2 } = ( 0 . 1 2 ) ^ { 2 } , \quad H _ { 1 } : \sigma ^ { 2 } \neq ( 0 . 1 2 ) ^ { 2 } .