24-25-2-数学分析（下）-期末

一、填空题（本大题共30分，每小题3分）

  1. ∑n=1∞(−1)n(nn+1)n\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n} 的敛散性为 【暂无答案】（选填 “绝对收敛”、“条件收敛” 或 “发散”）。

  2. ⋅∑n=0∞1n!(12)n=\cdot \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}\left(\frac{1}{2}\right)^{n} = 【暂无答案】

  3. 函数 f(x)=π−x,x∈[−π,π]f(x) = \pi - x, x \in [-\pi, \pi] 的傅里叶级数为 a02+∑n=1∞[ancos⁡nx+bnsin⁡nx]\frac{a_{0}}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left[a_{n} \cos n x + b_{n} \sin n x\right]，则 an=a_{n} = 【暂无答案】。

  4. 已知 FF 有一阶连续偏导数，且 F2′≠F3′F_{2}^{\prime} \neq F_{3}^{\prime}，方程 F(x−y,y−z,z−x)=0F(x-y, y-z, z-x) = 0 确定了隐函数 z=z(x,y)z = z(x,y)，则 dz=\mathrm{d}z = 【暂无答案】。

  5. 曲线 Γ:{y=3x−2,z=x2\Gamma: \left\{ \begin{array}{l} y = 3x - 2, \\ z = x^{2} \end{array} \right. 在点 M0(1,1,1)M_{0}(1,1,1) 处的法平面方程为 【暂无答案】。

  6. 曲线 C:∣x∣+∣y∣=1C: |x| + |y| = 1，则 ∮(2∣x∣+3∣y∣) ds=\oint(2|x| + 3|y|) \, \mathrm{d}s = 【暂无答案】。

  7. 已知 z=∫0ye−x2ydxz = \int_{0}^{y} e^{-x^{2}y} \mathrm{d}x，则 ∂z∂y=\frac{\partial z}{\partial y} = 【暂无答案】。

  8. 设 Ω\Omega 由锥面 z=x2+y2z = \sqrt{x^{2}+y^{2}} 与平面 z=1z = 1 围成，则 ∭Ωz dx dy dz=\iiint_{\Omega} z \, \mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz = 【暂无答案】。

  9. 当 λ=\lambda = 【暂无答案】 时，曲线积分 ∫C(x4+4xy3)dx+(6xλ−1y2−5y4) dy\int_{C}(x^{4}+4xy^{3})\mathrm dx+(6x^{\lambda-1}y^{2}-5y^{4})\,\mathrm dy 与路径无关。

  10. 已知曲线 CC 是球面 x2+y2+z2=1x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 与平面 z=z0(∣z0∣<1)z = z_{0} (|z_{0}| < 1) 的交线，由 zz 轴正向看去为逆时针方向，则 ∮(x2+yz) dx+(y2+xz) dy+(z2+xy) dz=\oint(x^{2}+yz)\,\mathrm dx+(y^{2}+xz)\,\mathrm dy+(z^{2}+xy)\,\mathrm dz = 【暂无答案】。

二（10分）

设 DD 是由曲线 xy=1xy = 1 与直线 x=12x = \frac{1}{2}，y=12y = \frac{1}{2} 所围成的第一象限部分区域，计算 ∬xy dx dy\iint xy \, \mathrm dx\,\mathrm dy。

三（10分）

设曲面 SS 为 z=a2−x2−y2z = \sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}，计算 ∬(x+y+z) dS\iint (x+y+z) \, \mathrm dS。

四（10分）

将函数 f(x)=2x+3x2+3x+2f(x) = \frac{2x+3}{x^{2}+3x+2} 展开成 (x−1)(x-1) 的幂级数，并指出收敛域。

五（12分）

一质点在力 F→=(sin⁡x2+y3)i→+(3x−x3)j→\overrightarrow{F} = (\sin x^{2}+y^{3})\overrightarrow{i}+(3x-x^{3})\overrightarrow{j} 的作用下，沿着圆周 C:x2+y2=R2(R>0)C: x^{2}+y^{2}=R^{2} (R>0) 逆时针运动一周，力 F→\overrightarrow{F} 做的功 W=∮F→⋅ dS→W = \oint \overrightarrow{F}\cdot\,\mathrm d\overrightarrow{S}，计算 RR 多大时做功最大，并求出所作功最大值。

六（10分）

已知 u=x2a+y2b+z2cu = \frac{x^{2}}{a} + \frac{y^{2}}{b} + \frac{z^{2}}{c}，其中 a,b,ca,b,c 均为正数，求在约束条件 x+y+z=1x+y+z=1 下 uu 的最小值。

七（10分）

计算第二类曲面积分 ∬Sz2x dy∧ dz+x2y dz∧dx+(y2z+1) dx∧dy\iint_{S} z^{2}x \, \mathrm dy \wedge \,\mathrm dz + x^{2}y \, \mathrm dz \wedge \mathrm dx + (y^{2}z+1) \, \mathrm dx \wedge \mathrm dy，其中 SS 为曲面 z=4−x2−y2z = \sqrt{4-x^{2}-y^{2}}，上侧。

八（8分）

设正项级数 ∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} 收敛，证明:

  1. 当 p>12p > \frac{1}{2} 时，级数 ∑n=1∞annp\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{a_{n}}}{n^{p}} 也收敛；
  2. 当 0<p≤120 < p \leq \frac{1}{2} 时，(1) 的结论是否仍然成立？若仍成立，请给出证明；若不成立，请举例说明。