24-25-2-数字信号处理-期末

一、填空题（每题2分，共20分）

对信号 $x(t)=\cos(500\pi t)+\cos(800\pi t)$ 进行取样，取样频率至少为 Hz 时取样信号的频谱不发生混叠；若按 $1000\,\mathrm{Hz}$ 的取样频率对信号进行取样，得到的序列 $x(n)$ 的周期为。
给定系统为 $T(x(n))=(\cos n\pi)x(n^2)$ ，其中 $x(n)$ 为系统的输入信号，该系统满足 ( ) 性质。

稳定

因果

线性

时不变

已知序列 $x(n)=\{1,1,3,6\}$ ，其4点DFT的结果为 $X(k)$ ，则 $\sum_{k=0}^{3}|X(k)|^{2}=$ 。
序列 $x(n)$ 的4点DFT结果为 $\{2, 1-j, 0, 3j\}$ ，则 $x(n)$ 在频率 $\omega=\frac{3\pi}{2}$ 处的DTFT的结果为。
设长度为4的有限长序列 $x(n)$ 的DFT为 $X(k)$ ，若 $y(n)=x((n-1))_4R_4(n)$ 且 $Y(k)$ 是其4点的DFT， $X(1)=1+3j$ ，则 $Y(1)=$ 。
若6点序列 $x(n)$ 和5点序列 $h(n)$ 的线性卷积 $y_{l}(n)=\{2,5,8,7,9,6,4,3,1,1\}$ ，现按 $N=6$ 计算两序列的循环卷积 $y_{c}(n)$ ，则 $y_{c}(2)=$ 。若希望 $y_{c}(n)=y_{l}(n)$ ，则 $N$ 至少为。
已知序列 $x(n)$ 的长度为4，其4点DFT结果 $X(k)=\{6,2,2,8\}$ 。则 $y(n)=\begin{cases}x(\frac{n}{2})&n\text{ 为偶数}\\0&n\text{ 为奇数}\end{cases}$ ，0≤n≤7 的8点DFT结果为。
某序列 $x(n)=\{1,9,5,5\}$ ，经过单位冲激响应为 $h(n)=\{1,0,7\}$ 的线性时不变因果系统。若采用重叠保留法计算系统的输出 $y(n)$ ，按长度 $N=4$ （包括重叠部分）进行分段，则各分段分别为。
某线性相位FIR数字滤波器的零点有 $\frac{1}{3}e^{j\frac{\pi}{4}}$ 和5，则其零点一定还有。
某卫星信号接收机使用III型线性相位FIR数字滤波器，其单位冲激响应为 $h(n)$ 。已知 $h(0)=0.3$ ，则 $h(20)=$ ， $h(10)=$ （滤波器长度 $N=21$ ）。

二、(18分)

某因果离散时间系统的差分方程为：

y ( n ) - \frac { 1 } { 4 } y ( n - 1 ) - \frac { 1 } { 8 } y ( n - 2 ) = 3 x ( n )

求系统的极点；
求系统的单位冲激响应 $h(n)$ ；
判断系统的稳定性；
若系统的输出 $y(n)=-\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{4}\right)^{n}u(n)$ ，求输入信号 $x(n)$ 及其Z变换 $X(z)$ 。

三、（共24分）

1.（10分）

已知两个实数序列 $x(n)=\{2,1,0,1\}$ 和 $y(n)=\{1,0,1,0\}$ ，其4点DFT分别为 $X(k)$ 和 $Y(k)$ 。

请按照基-2频率抽选法FFT计算复数序列 $z(n)=x(n)-jy(n)$ 的 DFT 变换结果 $Z(k)$ ；画出蝶形图，并在图中标注每个节点的值。
请从 $Z(k)$ 推导计算 $X(k)$ 和 $Y(k)$ 的表达式，并给出 $X(k)$ 和 $Y(k)$ 的具体结果。

2.（14分）

利用心电信号（Electrocardiogram, ECG）的R波间隙(R-R)进行情绪分析是神经科学领域中的一种常用方法。其基本原理是：积极情绪会导致R-R的低频段(LF,由交感神经主导)幅度较大，而消极情绪则会导致R-R高频段(HF,由副交感神经主导)幅度较大。一种简化的分析流程是：

在静息态采集个体的ECG信号；
利用巴特沃斯滤波器去除肌电噪声和工频干扰等噪声；
检测R波(R_peaks)，并经过重采样 $(f_{z}=1000\,\mathrm{Hz})$ 获得R-R间隙序列 $x(n)$ ，如图 (A) 所示；
利用长度为 $N$ 的矩形窗截取其中一段 $x(n)$ 后计算其N点DFT；
分别计算其高频段(HF:625~1000 Hz)的幅度 $|X_{HF}(k)|$ ，和低频段(LF:0~375 Hz)幅度 $|X_{LF}(k)|$ 。

如果该段序列 $x(n)$ 近似等于某单频模拟信号 $x_a(t)$ 的取样，其32点DFT的幅度 $|X(k)|$ 波形如图 (B) 所示。

此段ECG信号表示积极情绪还是消极情绪？说明理由；
$x_{a}(t)$ 最有可能为如下（A）、（B）、（C）、（D）中的 ( )，说明理由；并求最小频偏 $\Delta \omega_{\min}$ ；

10\cos(125\pi t)

10\cos(120\pi t)

10e^{j125\pi t}

10e^{j120\pi t}

若在区间 $0 \leq k \leq N-1$ ， $\left|X(k)\right|$ 只有一个非零值，则DFT的点数 $N$ 应如何选取？

四、(共20分)

1.（5分）

已知某模拟滤波器的系统函数 $H_{a}(s)=\frac{1}{s^{2}+4s+3}$ ，用冲激响应不变法将其转换为数字滤波器的系统函数 $H(z)$ 。（取样周期 $T=1\,\mathrm{s}$ ）

2.（15分）

设计一个巴特沃斯数字高通滤波器，并画出正准I型结构。

技术指标为：通带边缘频率 $f_{p}=500\,\mathrm{Hz}$ ，通带衰减 $A_{p}=3\,\mathrm{dB}$ ；阻带边缘频率 $f_{stop}=150\,\mathrm{Hz}$ ，阻带衰减 $A_{s}=30\,\mathrm{dB}$ ；取样频率为 $f_{s}=2000\,\mathrm{Hz}$ 。

归一化的N阶巴特沃斯模拟低通滤波器的系统函数分母多项式：

$N=2$ 时，分母多项式为 $p^{2}+1.414p+1$ ；
$N=3$ 时，分母多项式为 $(p^{2}+p+1)(p+1)$
$N=4$ 时，分母多项式为 $(p^{2}+0.7654p+1)(p^{2}+1.8478p+1)$

模拟频率变换
滤波器变换类型	归一化低通滤波器 $H_{LP}(p)$ 的技术指标要求	要求的滤波器 $\left.H_d(s)=H_{LP}(p)\right\|_{p=q(s)}$
低通->高通， $H_{LP}(p)\rightarrow H_{HP}(p)$	$\lambda_p=1,\;\lambda_s=\frac{\Omega_p}{\Omega_s}$	$p=\frac{\Omega_p}{s}$

五（18分）

某无线通信系统需抑制频段在 $1.8\,\mathrm{kHz}$ 至 $2.2,\mathrm{kHz}$ 的干扰信号，保留其余频段的有效信号。

用窗函数法设计满足需求的线性相位 FIR 数字滤波器。设计指标如下：阻带的边缘频率分别为： $f_{s1} = 1.8\,\mathrm{kHz}$ ， $f_{s2} = 2.2\,\mathrm{kHz}$ ；通带的边缘频率分别为： $f_{p1} = 1.0\,\mathrm{kHz}$ ， $f_{p2} = 3.0\,\mathrm{kHz}$ ；阻带最小衰减： $A_s \leq -51\,\mathrm{dB}$ ；取样频率为 $10\,\mathrm{kHz}$ ，
画出线性相位实现结构。

窗函数性能指标及表达式

窗函数	过渡带宽 $(\Delta \omega)$	阻带衰减 $(dB)$	窗函数表达式 $n=0,1,2,...,N-1$
汉宁窗	$6.2\pi/N$	$-44$	$w(n)=0.5-0.5\cos\left(\frac{2n\pi}{N-1}\right)$
汉明窗	$6.6\pi/N$	$-53$	$w(n)=0.54-0.46\cos\left(\frac{2n\pi}{N-1}\right)$
布莱克曼窗	$11\pi/N$	$-74$	$w(n)=0.42-0.5\cos\left(\frac{2n\pi}{N-1}\right)+0.08\cos\left(\frac{2\pi}{N-1}2n\right)$