24-25-2-工科数学分析（下）-期中

一、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）

  1. 设有曲面 S:z=x2+2y2S:z=x^2+2y^2 和平面 π:2x+2y+z=0\pi:2x+2y+z=0，则与 π\pi 平行的 SS 的切平面方程是 .

  2. 设 z=z(x,y)z=z(x,y) 是由方程 2sin⁡(x+2y−3z)=x+2y−3z2\sin(x+2y-3z)=x+2y-3z 所确定的二元隐函数，则 ∂z∂x+∂z∂y=\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}= .

  3. 求极限 lim⁡(x,y)→(0,0)1−cos⁡(x2+y2)(x2+y2)ex2y2=\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{1-\cos(x^2+y^2)}{(x^2+y^2)\mathrm e^{x^2y^2}}= .

  4. 设 f(x,y)f(x,y) 具有一阶连续偏导数，且满足 df(x,y)=yey dx+x(1+y)ey dy\mathrm df(x,y)=y\mathrm e^y\,\mathrm dx+x(1+y)\mathrm e^y\,\mathrm dy 及 f(0,0)=0f(0,0)=0，则 f(x,y)=f(x,y)= .

  5. 计算积分 ∫02πy(∫y2πsin⁡2xx2dx)dy=\int_0^{2\pi}y\left(\int_y^{2\pi}\frac{\sin^2x}{x^2}\mathrm dx\right)\mathrm dy= .

  6. 函数 u=ln(x+y2+z2)u=ln(x+\sqrt{y^2+z^2}) 在点 A(1,0,1)A(1,0,1) 处沿 AA 指向 B(3,−2,2)B(3,-2,2) 方向的方向导数为 .