24-25-1-复变函数-期末

一、填空题（5×10=50分）

  1. Re(3+5i1−3i)=\mathrm{Re}\left(\dfrac{3+5i}{1-\sqrt{3}i}\right)=

  2. 3+i2=\sqrt{\dfrac{\sqrt{3}+i}{2}}=

  3. Ln(−i)=\mathrm{Ln}(-i)=

  4. f(z)=x3+xy2+i(x2y+y3)f(z)=x^3+xy^2+i(x^2y+y^3) 是否在零点解析

  5. ∫LIm⁡(z2)dz=\int_L \operatorname{Im}(z^2)\mathrm{d}z= ，其中 LL 是从 (0,0)(0,0) 到 (3,1)(3,1) 的直线段。

  6. ∫Lez(sin⁡z+cos⁡z)dz=\int_L e^{z}(\sin z + \cos z)\mathrm{d}z= ，其中 LL 是从 (0,0)(0,0) 到 (0,π)(0,\pi) 的直线段。

  7. ∮∣z∣=1(1+z2)sin⁡z+ezzdz=\oint_{|z|=1}\dfrac{(1+z^2)\sin z+e^z}{z}\mathrm{d}z=

  8. ∑n=0+∞(1+1n)n2zn\sum_{n=0}^{+\infty}(1+\frac{1}{n})^{n^2}z^n 的收敛半径

  9. z=0z=0 是 sin⁡1zz3\dfrac{\sin\frac1z}{z^3} 的什么极点

  10. f(z)=esin⁡πzz3−1, Res(f(z),1)=f(z)=\dfrac{e^{\sin\pi z}}{z^3-1},\ \mathrm{Res}(f(z),1)=

二、简答题（10×4=40分）

1.

z2−2z+5(z−2)(z2+1), 2<∣z∣<+∞\dfrac{z^2-2z+5}{(z-2)(z^2+1)},\ 2<|z|<+\infty 的洛朗展开。

答案 / 解析

∑n=0+∞2nzn+1−∑n=0+∞(−1)n1zn+2, 2<∣z∣<+∞\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{2^n}{z^{n+1}}-\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\dfrac{1}{z^{n+2}},\ 2<|z|<+\infty

2. 计算题

a. ∫0+∞xsin⁡x(x2+a2)2dx (m>0,a>0)\int_{0}^{+\infty}\dfrac{x\sin x}{(x^2+a^2)^2}\mathrm{d}x\ (m>0,a>0)

答案 / 解析

πme−ama\dfrac{\pi m \mathrm{e}^{-am}}{a}

b. ∫0+∞cos⁡2θ1−2ϵcos⁡θ+ϵ2dθ (0<ϵ<1)\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\cos 2\theta}{1-2\epsilon\cos\theta+\epsilon^2}\mathrm{d}\theta\ (0<\epsilon<1)

答案 / 解析

−2πϵ2ϵ2−1-\dfrac{2\pi\epsilon^2}{\epsilon^2-1}

c. ∮∣z∣=31z3(z−2)dz\oint_{|z|=3}\dfrac{1}{z^3(z-2)}\mathrm{d}z

答案 / 解析

00

三、证明题（10分）

CR={z∈C∣∣z∣=R, Imz≥0}C_R=\{z\in\mathbb{C}\mid |z|=R,\ \mathrm{Im}z\ge0\}

证明：lim⁡R→+∞∫CReizzdz=0\lim_{R\to+\infty}\int_{C_R}\dfrac{\mathrm{e}^{iz}}{z}\mathrm{d}z=0