23-24-2-数字信号处理-期末

二

2（13分）

假设线性时不变系统的系统函数如下：

$$H(z)=\frac{1-z^{-1}}{(1-0.25z^{-1})(1+0.5z^{-1})}$$

1. 若系统为因果系统，请给出 $H(z)$ 的收敛域，并判断系统是否稳定；
2. 写出系统对应的线性常系数差分方程；
3. 用窗函数法求该因果系统的单位冲激响应 $h(n)$。

三（20分）

1（6分）

有一 FIR 数字滤波器，其系统函数 $H(z)=3+z^{-1}+z^{-2}+3z^{-3}$，请利用 DFT 求出系统在 $\omega=\frac\pi2$ 处的频率响应 $H\left(\mathrm e^{\mathrm j\frac\pi2}\right)$。

2（14分）

利用下图的流程对模拟信号 $x_a(t)$ 进行频谱分析，设 $x_a(t)=x_1(t)+x_2(t)$，且 $x_1(t)=4\cos(2\pi t)$，$x_2(t)=5\mathrm e^{\mathrm j3\pi t}$，其中，取样频率 $f_s=16\,\mathrm{Hz},\;w(n),\,(n=0,\cdots,N-1)$ 为长度为 $N$ 的矩形窗，$S(k)$ 为 $s(n)$ 的 N 点 DFT。

图片暂缺 题图3.2.svg

第三、2题图

1. $N$ 最小为何值时能保证 $\left|S(k)\right|$ 中的非零值最少，求出对应的 $k$ 值和幅度 $\left|S(k)\right|$。

2. 如果 DFT 的点数为 $N=16$，此时是否存在频谱泄露？如果存在，求频谱分析的最小频率偏差 $\Delta\omega_\text{min}$。

五（18分）

一种蝙蝠通过发出度频声波进行回声定位，功能类似一个高通滤波器。请利用窗函数法设计线性相位 FIR 数字高通滤波器，要求：

1. 阻带衰减不低于 $-48\,\mathrm{dB}$，通带边缘频率 $f_p=3.5\,\mathrm{kHz}$, 阻带边缘频率 $f_\text{stop}=3\,\mathrm{kHz}$，取样频率 $f_s=10\,\mathrm{kHz}$。
2. 画出线性相位实现结构。

窗函数性能指标及表达式

窗函数	过渡带宽 $(\Delta \omega)$	阻带衰减 $(dB)$	窗函数表达式 $n=0,1,2,...,N-1$
汉宁窗	$6.2\pi/N$	$-44$	$w(n)=0.5-0.5\cos\left(\frac{2n\pi}{N-1}\right)$
汉明窗	$6.6\pi/N$	$-53$	$w(n)=0.54-0.46\cos\left(\frac{2n\pi}{N-1}\right)$
布莱克曼窗	$11\pi/N$	$-74$	$w(n)=0.42-0.5\cos\left(\frac{2n\pi}{N-1}\right)+0.08\cos\left(\frac{2\pi}{N-1}2n\right)$