23-24-2-大学物理E（上）-期末

一、单项选择题（每题 3 分，共 30 分）

对于沿曲线运动的物体，以下几种说法中哪一种是正确的是 ( )

切向加速度必不为零

法向加速度必不为零（拐点处除外）

由于速度沿切线方向，法向分速度必为零，因此法向加速度必为零

若物体作匀速率运动，其总加速度必为零

如图所示，一个小物体，位于光滑的水平桌面上，与一绳的一端相连接，绳的另一端穿过桌面中心的小孔 $O$ 。该物体原以角速度 $\omega$ 在半径为 $R$ 的圆周上绕 $O$ 旋转，今将绳从小孔缓慢往下拉。则物体 ( )

动能不变，动量改变

动量不变，动能改变

角动量不变，动量改变

角动量改变，动量改变

下列几个说法中哪一个是正确的是 ( )

电场中某点场强的方向，就是将点电荷放在该点所受电场力的方向

在以点电荷为中心的球面上，由该点电荷所产生的场强处处相同

场强可由

\vec E=\vec F/q

定出，其中

q

为试验电荷的电荷量，

q

可正、可负且足够小，

\vec F

为试验电荷所受的电场力

以上说法都不正确

一空心导体球壳，其内、外半径分别为 $R_1$ 和 $R_2$ ，带电荷 $q$ ，如图所示。当球壳中心处再放一电荷为 $q$ 的点电荷时，则导体球壳的电势（设无穷远处为电势零点）为 ( )

\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0R_1}

\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0R_2}

\dfrac{q}{2\pi\varepsilon_0R_1}

\dfrac{q}{2\pi\varepsilon_0R_2}

球形电容器，内外半径分别为 $R_1=1\ \mathrm{m}$ 和 $R_2=1.5\ \mathrm{m}$ 。两极板间电势差为 $U=5\ \mathrm{V}$ ，则电容器中存储的能量为 ( )

300\pi\varepsilon_0

150\pi\varepsilon_0

500\pi\varepsilon_0

200\pi\varepsilon_0

如图所示，两个大小不同的电流元 $I_1d\vec l_1$ 和 $I_2d\vec l_2$ 的方向相互垂直，则两个电流元的相互作用力 ( )

大小相等，方向相反

大小相等，方向不相反

大小不相等，方向不相反

大小不相等，方向相反

一平面简谐波在弹性媒质中传播，在媒质质元从最大位移处回到平衡位置的过程中，正确的是 ( )

它的势能转换成动能

它的动能转换成势能

它从相邻的一段媒质质元获得能量，其能量逐渐增加

它把自己的能量传给相邻的一段媒质质元，其能量逐渐减小

一质量为 $m$ 的物体挂在劲度系数为 $k$ 的轻弹簧下面，振动角频率为 $\omega$ 。若把此弹簧分割成二等份，将物体 $m$ 挂在分割后的一根弹簧上，则振动角频率是 ( )

2\omega

\sqrt2\omega

\omega/\sqrt2

\omega/2

一质点在 $x$ 轴上作简谐振动，振幅 $A=4\ \mathrm{cm}$ ，周期 $T=2\ \mathrm{s}$ ，其平衡位置取作坐标原点。若 $t=0$ 时刻质点第一次通过 $x=-2\ \mathrm{cm}$ 处，且向 $x$ 轴负方向运动，则质点第二次通过 $x=-2\ \mathrm{cm}$ 处的时刻为 ( )

1\ \mathrm{s}

(2/3)\ \mathrm{s}

(4/3)\ \mathrm{s}

2\ \mathrm{s}

已知 $f(v)$ 为麦克斯韦速率分布函数， $N$ 为总分子数，则速率 $v>100\ \mathrm{m/s}$ 的分子数的表达式为 ( )

\displaystyle\int_0^{100} f(v)\,dv

\displaystyle\int_{100}^{\infty} f(v)\,dv

\displaystyle N\int_{100}^{\infty} f(v)\,dv

\displaystyle N\int_0^{100} f(v)\,dv

二、填空题（每空 3 分，共 30 分）

竖立的圆筒形转笼，半径为 $R$ ，绕中心轴 $OO'$ 转动，物块 $A$ 紧靠在圆筒的内壁上，物块与圆筒间的摩擦系数为 $\mu$ ，要使物块 $A$ 不下落，圆筒转动的角速度 $\omega$ 至少应为。

质量为 $m$ 的雨滴下降时，因受空气阻力，在落地前已是匀速运动，其速率为 $v=5.0\ \mathrm{m/s}$ 。设空气阻力大小与雨滴速率的平方成正比，当雨滴下降速率为 $v=4.0\ \mathrm{m/s}$ 时，其加速度 $a$ 为。（取 $g=10\ \mathrm{m/s^2}$ ）
质量为 $m$ 的一艘宇宙飞船关闭发动机返回地球时，可以认为该飞船只在地球的引力场中运动。已知地球质量为 $M$ ，万有引力恒量为 $G$ ，则当它从距地球中心 $R_1$ 处下降到 $R_2$ 处时，飞船增加的动能应等于。
如图所示，在电荷为 $q$ 的点电荷的静电场中，将一电荷为 $q_0$ 的试验电荷从 $a$ 点经任意路径移动到 $b$ 点，电场力所作的功 $A=$ 。（ $r_a,r_b$ 已知）

一长直密绕螺线管的自感系数为 $L$ ，在保持匝数和截面积不变的情况下，将螺线管均匀拉长为原来的 2 倍，则拉长后的螺线管的自感系数为。
半径为 $a$ 的无限长密绕螺线管，单位长度上的匝数为 $n$ ，通以交变电流 $i=I_m\sin\omega t$ ，则围在管外的同轴圆形回路（半径为 $r$ ）上的感生电动势为。
两相干波源 $S_1$ 和 $S_2$ 的振动方程分别是 $y_1=A\cos(\omega t+\varphi)$ 和 $y_2=A\cos(\omega t+\varphi)$ ， $S_1$ 距 $P$ 点 3 个波长， $S_2$ 距 $P$ 点 4.5 个波长。设波传播过程中振幅不变，则两波同时传到 $P$ 点时的合振幅是。
一列平面简谐波沿 $x$ 轴正向无衰减地传播，波的振幅为 $2\times10^{-3}\ \mathrm{m}$ ，周期为 $0.01\ \mathrm{s}$ ，波速为 $400\ \mathrm{m/s}$ 。当 $t=0$ 时 $x$ 轴原点处的质元正通过平衡位置向 $y$ 轴正方向运动，则该简谐波的表达式为。
在弦线上有一驻波，其表达式为 $y=2A\cos(2\pi x/\lambda)\cos(2\pi\nu t)$ ，两个相邻波节之间的距离是。
一定量的理想气体贮于某一容器中，温度为 $T$ ，气体分子的质量为 $m$ 。根据理想气体的分子模型和统计假设，分子速率平方的平均值 $\overline{v^2}=$ 。

三、计算题（每题 10 分，共 40 分）

1.

如图所示，一厚为 $b$ 的“无限大”带电平板，其电荷体密度分布为 $\rho=kx$ （ $0\le x\le b$ ），式中 $k$ 为一正的常量。求：

平板外两侧任一点 $P_1$ 和 $P_2$ 处的电场强度大小；
平板内任一点 $P$ 处的电场强度；
场强为零的点在何处？

答案 / 解析

把带电平板看成许多无限大带电薄层叠加。取 $x$ 轴向右，原点 $O$ 在平板左表面，平板范围为 $0\le x\le b$ 。

平板总面电荷密度为

\sigma=\int_0^b kx\,dx=\frac{kb^2}{2}.

所以平板外两侧电场强度大小均为

E_1=E_2=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}=\frac{kb^2}{4\varepsilon_0}.

方向：左侧向左，右侧向右。

平板内 $0\le x\le b$ 处，

E(x)=\frac{1}{2\varepsilon_0}\left(\int_0^x kx'\,dx'-\int_x^b kx'\,dx'\right) =\frac{k}{4\varepsilon_0}\left(2x^2-b^2\right),

正号表示沿 $x$ 轴正方向。

令 $E(x)=0$ ，得

x=\frac{b}{\sqrt2}.

即场强为零的点在平板内距左表面 $b/\sqrt2$ 处。

2.

两个形状完全相同、质量都为 $M$ 的弧形导轨 $A$ 和 $B$ ，相向地放在地板上，今有一质量为 $m$ 的小物体，从静止状态由 $A$ 的顶端下滑，到达底部后冲到 $B$ 导轨上。已知 $A$ 顶端的高度为 $h_0$ ，所有接触面均光滑。试求小物体在 $B$ 轨上上升的最大高度（设 $A$ 、 $B$ 导轨与地面相切）。

答案 / 解析

小物体从 $A$ 轨下滑到底部时，对“小物体 + A 轨”系统，水平方向动量守恒、机械能守恒。设小物体到底部时速度为 $v$ ， $A$ 轨速度为 $V_A$ ，则

mv+MV_A=0,

mgh_0=\frac12mv^2+\frac12MV_A^2.

由此得

v^2=\frac{2Mgh_0}{M+m}.

小物体冲上 $B$ 轨时，对“小物体 + B 轨”系统仍有水平方向动量守恒。到最高点时，小物体相对 $B$ 轨瞬时静止，二者具有共同速度

V=\frac{mv}{M+m}.

设上升最大高度为 $h$ ，由机械能守恒：

\frac12mv^2=mgh+\frac12(M+m)V^2.

代入 $V$ 和 $v^2$ ，得

h=\frac{M^2}{(M+m)^2}h_0.

3.

如图所示，一根长为 $L$ 的金属细杆 $ab$ 绕竖直轴 $O_1O_2$ 以角速度 $\omega$ 在水平面内旋转。 $O_1O_2$ 在离细杆 $a$ 端 $L/5$ 处。若已知地磁场在竖直方向的分量为 $\vec B$ 。求 $ab$ 两端间的电势差 $U_a-U_b$ 。

答案 / 解析

以转轴与杆交点 $O$ 为坐标原点，沿杆由 $O$ 指向 $b$ 为正方向。则 $a$ 点坐标为 $-L/5$ ， $b$ 点坐标为 $4L/5$ 。

若 $\vec\omega$ 与竖直磁场分量 $\vec B$ 同向，杆上距转轴 $x$ 处有

(\vec v\times\vec B)\cdot d\vec l=\omega Bx\,dx.

稳定时导体内静电场满足 $\vec E=-\vec v\times\vec B$ ，所以

U_a-U_b=\int_a^b \vec E\cdot d\vec l =-\int_{-L/5}^{4L/5}\omega Bx\,dx =-\frac{3}{10}B\omega L^2.

若 $\vec\omega$ 与 $\vec B$ 反向，结果符号相反。

4.

一定量的某种理想气体进行如图所示的循环过程。已知气体在状态 $A$ 的温度为 $T_A=300\ \mathrm{K}$ ，求：

气体在状态 $B$ 、 $C$ 的温度；
各过程中气体对外所作的功；
经过整个循环过程，气体从外界吸收的总热量（各过程吸热的代数和）。

答案 / 解析

由图可读出

A(1,300),\quad B(3,100),\quad C(1,100),

其中 $p$ 的单位为 $\mathrm{Pa}$ ， $V$ 的单位为 $\mathrm{m^3}$ 。理想气体满足 $pV=nRT$ 。由 $T_A=300\ \mathrm K$ 得

nR=\frac{p_AV_A}{T_A}=\frac{300\times1}{300}=1.

因此

T_B=\frac{p_BV_B}{nR}=100\times3=300\ \mathrm K,

T_C=\frac{p_CV_C}{nR}=100\times1=100\ \mathrm K.

各过程气体对外作功为 $W=\int p\,dV$ ：

W_{AB}=\frac{300+100}{2}(3-1)=400\ \mathrm J,

W_{BC}=100(1-3)=-200\ \mathrm J,

W_{CA}=0.

整个循环中内能变化为零，所以吸热的代数和等于循环净功：

Q_{\text{总}}=W_{\text{总}}=400-200+0=200\ \mathrm J.