22-23-2-大学物理C-期中

一、（25分）

一质点以初速度 $\vec{v_0}$ 做直线运动，所受阻力与其速率成正比 $f=-kv$ （ $k$ 为常数），试求当质点的速度减为 $\vec{v_0}/n$ ( $n > 1$ ) 时，质点经过的路程与所能经过的总路程的比值。

答案 / 解析

解：据题意 $f=-kv$ （ $C$ 为常数）。

则 $\qquad a = -kv$ （k 为常数）

由 $\qquad a = \frac{dv}{dt} = -kv$

得 $\qquad \frac{dv}{dx}v = -kv$

\int_{\frac{v_0}{n}}^{0}\,\mathrm{d}v=-\int_{x_1}^{x_2}k\,\mathrm{d}x

其中 $x_1$ 是质点从开始到速度为 $\frac{v_0}{n}$ 所经过的位移。

$x_2$ 是质点从开始到速度为 0 时所经过的总位移。

积分式设 $\qquad k(x_1 - x_2) = \frac{v_0}{n}$

同时， $\int_{v_0}^{\frac{v_0}{n}}\mathrm{d}v = \int_{0}^{x_1} -k\mathrm{d}x$

kx_1 = v_0 - \frac{v_0}{n}

由(1)、(2)两式 $\frac{x_1}{x_2} = 1 - \frac{1}{n}$

二、（25分）

如第2题图所示，劲度系数为 $K$ 的弹簧，一端固定于墙上，另一端与一质量为 $m_1$ 的木块 A 相接，A 又与质量为 $m_2$ 的木块 B 用不可伸长的轻绳相连，整个系统放在光滑水平面上。现在以不变的力 $\vec{F}$ 向右拉 $m_2$ ，使 $m_2$ 自平衡位置由静止开始运动，求：木块 A、B 系统所受合外力为零时的速度，以及此过程中绳的拉力 $\vec{T}$ 对 $m_1$ 所作的功。

答案 / 解析

解：设弹簧伸长 $x_1$ 时，木块 A、B 所受合外力为零，则有：

F - kx_1 = 0 \qquad x_1 = F/k

设绳的拉力 $\vec{F}$ 对 $m_2$ 所作的功为 $W_{T2}$ ，恒力 $\vec{F}$ 对 $m_2$ 所作的功为 $W_F$ ，木块A、B系统所受合外力为零时的速度为 $v$ ，弹簧在此过程中所作的功为 $W_K$ 。

对 $m_1 、m_2$ 系统，由动能定理有

W_F + W_K = \frac{1}{2}(m_1 + m_2)v^2 \tag{1}

对 $m_2$ 有

W_F + W_{T2} = \frac{1}{2}m_2 v^2 \tag{2}

而 $W_K = -\frac{1}{2}kx_1^2 = -\frac{F^2}{2k}$ ， $W_F = Fx_1 = F^2/k$ 。

代入(1)式可求得 $v = \frac{F}{\sqrt{k(m_1 + m_2)}}$

由(2)式可得

\begin{aligned} W_{T2} &= -W_F + \frac{1}{2}m_2 v^2 = -\frac{F^2}{k} \left[1 - \frac{m_2}{2(m_1+m_2)} \right]\\ &= -\frac{F^2(2m_1 + m_2)}{2k(m_1 + m_2)} \end{aligned}

三、（25分）

如第3题图所示，一内半径为 $a$ 、外半径为 $b$ 的金属球壳，带有电荷 $Q$ 。在球壳空腔内距离球心 $r$ 处有一点电荷 $q$ 。设无限远处为电势零点，试求：

球壳内外表面上的电荷；
球心 $O$ 点处，球壳内表面上电荷产生的电势；
球心 $O$ 点处的总电势。

答案 / 解析

解：(1) 由静电感应，金属球壳内表面感生电荷 $-q$ ，外表面上带电荷为 $Q + q$ 。

(2) 不论球壳内表面上感生电荷是如何分布的，因为任一电荷元离 $O$ 点的距离都是 $a$ ，所以由这些电荷在 $O$ 点产生的电势为

U_{-q} = \frac{\int \mathrm{d} q}{4\pi\epsilon_0 a} = \frac{-q}{4\pi\epsilon_0 a}

(3) 球心 $O$ 点的总电势为分布在球壳内外表面上的电荷和点电荷 $q$ 在 $O$ 点产生的电势的代数和：

\begin{aligned} U_o &= U_q + U_{-q} + U_{Q+q} = \frac{q}{4\pi\epsilon_0 r} - \frac{q}{4\pi\epsilon_0 a} + \frac{Q+q}{4\pi\epsilon_0 b}\\ &= \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \left(\frac{1}{r} - \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) + \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 b} \end{aligned}

四、（25分）

一个质子从远处射向一个带电量为 $Ze$ 的重核，但是没有瞄准，偏离了距离 $b$ （ $b$ 称为散射参量），如第4题图所示。质子的初动能为 $\frac{1}{2}m_p v_0^2$ ，重核的质量非常大，可以略去其反冲能量（即可以将重核看做静止的）。试求质子能接近重核的最短距离 $S$ 。（令 $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ ）

答案 / 解析

解：相对重核而言，质子的角动量守恒，故有

m v_0 b = m v s

其中 $v$ 是质子离重核最近时的速度，由上式可得 $v = \frac{v_0 b}{s}$

选取无穷远处势能为零，当重核和质子相距为 $r$ 时系统的势能为

E_p = \int_{r}^{\infty} k \frac{z e^2}{r^2} \mathrm{d} r = \frac{kze^2}{r}

整个过程中系统的能量守恒，即

\frac{1}{2}m_p v_0^2 = \frac{1}{2}m_p v^2 + \frac{kze^2}{s} = \frac{1}{2}m_p \frac{v_0^2 b^2}{s^2} + \frac{kze^2}{s}

整理得

(m_p v_0^2)s^2 - 2kze^2 s - m_p v_0^2 b^2 = 0

S = \frac{kze^2}{m_p v_0^2} + \sqrt{\frac{k^2 z^2 e^4}{m_p^2 v_0^4} + b^2}

此即质子接近重核的最短距离。