由 $k$ 个 $1$ 构成的正整数即为 $\frac{10^{k}-1}{9}$，欲证明题中命题，即证 $\exists k$，使得 $\frac{10^{k}-1}{9}\equiv 0\pmod{2023}$。

计算得 $2023 \bmod{3} = 1$，即 $3\nmid 2023$，从而 $\gcd(2023, 9)=1$，有 $\frac{10^{k}-1}{9}\equiv 0\pmod{2023}$ 等价于 $10^{k}-1\equiv 0\pmod{2023}$，即 $10^{k}\equiv 1\pmod{2023}$。

计算得 $2023 \bmod{2} = 1$ 且 $2023 \bmod{5} = 3$，即 $2\nmid 2023$ 且 $5\nmid 2023$，从而 $\gcd(2023, 10)=1$。

由 $\gcd(2023, 10)=1$，根据 Euler 定理，有 $10^{\varphi(2023)}\equiv 1\pmod{2023}$，取 $k=\varphi(2023)$ 即可使得命题成立，证毕。

不妨设 A 为胜者，则计算得出 A 胜的情况数对应翻倍即为答案。

考虑 B 的胜利次数为 $i$，则 $i \in \{0, 1, \cdots, n-1\}$（其中 $n$ 表示胜利者的游戏次数），游戏共进行 $n + i$ 局，且最后一局一定是 A 胜，而前 $n+i-1$ 局任意排布，对应方案数为 $\binom{n+i-1}{i}$。

故答案为 $2\sum_{i=0}^{n-1}\binom{n+i-1}{i}=2\times\binom{2n-1}{n}$，代入 $n=5$，得方案数为 $252$。

注意到 $\frac{\mathrm{d}\left(\frac{1}{n}x^n\right)}{\mathrm{d}x}=x^{n-1}$，故不妨设 $f(x)=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\frac{1}{k+2}x^{k+2}$，则所求即为 $f(1)$，下面尝试求解 $f(x)$ 的闭式。

先对 $f(x)$ 求导，得 $\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{k+1}$，从而有 $\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}=x\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^k=x(x+1)^n$。

即得微分方程 $\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}=x(x+1)^n$，边界条件为 $f(0)=0$，从而有 $f(x)=\int_{0}^{x}t(t+1)^n\mathrm{d}t=\frac{1}{n+2}(x+1)^{n+2}-\frac{1}{n+1}(x+1)^{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}$。

代入 $x=1$，即得所求为 $f(1)=\frac{n2^{n+1}+1}{(n+1)(n+2)}$。

我们将此问题模型化为一个 $n\times n$ 的棋盘。棋盘的行代表人物，列代表地方。一个“不允许”的分配方案，我们称之为禁区，在棋盘上用 ■ 标记。

问题的解，等价于在这个 $n\times n$ 棋盘上放置 $n$ 个“车”，要求任意两个车不能在同一行或同一列，并且没有任何一个车落在禁区（■）中。

首先计算禁区的棋盘多项式 $R(x) = \sum_{k=0}^{n} r_k x^k$。其中，系数 $r_k$ 是指在禁区棋盘上放置 $k$ 个互不攻击（不同行不同列）的车的方法数。

计算可得 $r_0 = 1$， $r_1 = 5$， $r_2 = 8$， $r_3 = 4$， $r_4 = 0$。 因此，禁区的棋盘多项式为 $R(x) = 1 + 5x + 8x^2 + 4x^3$。

利用容斥原理，满足条件的排列总数可以通过公式 $\sum_{k=0}^{n} (-1)^k r_k (n-k)!$ 计算，代入 $n=4$ 和 $r_k$ 的值，得到可能的分配方法总数为 $6$ 种。

不妨设 $f_{i,j}$ 表示用前 $i$ 种货币组成 $j$ 元的方案数，则有 $f_{0,0}=1$，以及 $f_{i,j}=f_{i-1,j}+f_{i,j-v_i}$，其中 $v_i$ 表示第 $i$ 种货币的面值。

从而列表递推 $f_{i,j}$，可知答案为 $f_{3,20}=29$。

整理此式可得：

$$a_n-a_{n-1}+\frac132^{n+1}+\frac123^{n+1}=5\left(a_{n-1}-a_{n-2}+\frac132^n+\frac123^n\right)$$

所以 $\left\{a_n-a_{n-1}+\frac132^{n+1}+\frac123^{n+1}\right\}$ 是一个等比数列，且 $a_1-a_0+\frac132^2+\frac123^2=\frac{71}6$

因此

$$a_n-a_{n-1}+\frac132^{n+1}+\frac123^{n+1}=\frac{71}65^{n-1}$$

整理得：

$$\begin{align*} a_n=&{}a_0+\sum_{k=1}^n\left(\frac{71}65^{k-1}-\frac132^{k+1}-\frac123^{k+1}\right)\\ =&{}\frac{13}8+\frac{71}{24}5^n-\frac143^{n+2}-\frac132^{n+2} \end{align*}$$