一 填空 (30 分, 每空 3 分)

  1. 行列式 ∣1234234134124123∣=\left|\begin{matrix}1&2&3&4\\2&3&4&1\\3&4&1&2\\4&1&2&3\end{matrix}\right|= .

  2. 已知二次型 f(x1,x2,x3)=x12+2x22+2x32+2x1x2−2x1x3f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+2x_3^2+2x_1x_2-2x_1x_3, g(y1,y2,y3)=y12+y22+y32+2y2y3g(y_1,y_2,y_3)=y_1^2+y_2^2+y_3^2+2y_2y_3, 是否存在正交变换将 f(x1,x2,x3)f(x_1,x_2,x_3) 化成 g(y1,y2,y3)g(y_1,y_2,y_3)? (回答是或否)

  3. 设 H=E−3uuTH=E-3uu^T, 其中 EE 为 3 阶单位矩阵, uu 为单位列向量, 则 HnH^n 的迹 tr⁡(Hn)=\operatorname{tr}(H^n)= .

  4. 已知线性方程组 {ax1+x3=1x1+ax2+x3=0x1+2x2+ax3=0ax1+bx2=3\begin{cases}ax_1+x_3=1\\x_1+ax_2+x_3=0\\x_1+2x_2+ax_3=0\\ax_1+bx_2=3\end{cases} 有解, 其中 a,ba,b 为常数, 若 ∣a011a112a∣=4\left|\begin{matrix}a&0&1\\1&a&1\\1&2&a\end{matrix}\right|=4, 则 ∣1a112aab0∣=\left|\begin{matrix}1&a&1\\1&2&a\\a&b&0\end{matrix}\right|= .

  5. 已知 nn 阵矩阵 AA 的行列式 ∣A∣=3\left|A\right|=3, A∗A^* 为 AA 的伴随矩阵, 则 ∣(A∗)∗∣=\left|(A^*)^*\right|= ..

  6. 矩阵 A=(123423455432)A=\left(\begin{matrix}1&2&3&4\\2&3&4&5\\5&4&3&2\end{matrix}\right) 的行最简形矩阵是 .

  7. 若向量组 α1=(a,1,−1,1)T\alpha_1=(a,1,-1,1)^T, α2=(1,1,b,a)T\alpha_2=(1,1,b,a)^T, α3=(1,a,−1,1)T\alpha_3=(1,a,-1,1)^T 线性相关,且其中任意两个向量线性无关, 则 ab=ab= .

  8. 已知矩阵 A=(123456789)A=\left(\begin{matrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{matrix}\right), 则 AA 的伴随矩阵 A∗A^* 的秩 r(A∗)=r(A^*)= .

  9. 矩阵 M=(m11m12m13m21m22m23m31m32m33)M=\left(\begin{matrix}m_{11}&m_{12}&m_{13}\\m_{21}&m_{22}&m_{23}\\m_{31}&m_{32}&m_{33}\end{matrix}\right), N=(m11+m13m13m12m21+m23m23m22m31+m33m33m32)N=\left(\begin{matrix}m_{11}+m_{13}&m_{13}&m_{12}\\m_{21}+m_{23}&m_{23}&m_{22}\\m_{31}+m_{33}&m_{33}&m_{32}\end{matrix}\right), P1=(100001010)P_1=\left(\begin{matrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{matrix}\right), P2=(100010101)P_2=\left(\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\1&0&1\end{matrix}\right), 则必有 ( ).

  1. 已知实矩阵 A=(1ccc1ccc1)A=\left(\begin{matrix}1&c&c\\c&1&c\\c&c&1\end{matrix}\right) 的秩为 22, 则 c=c= .

二 (10 分)

求满足相应条件的矩阵.

(1)

已知二阶矩阵 TT 的特征值为 λ1=1\lambda_1=1 和 λ2=2\lambda_2=2, 对应的特征向量分别为 (3,4)T(3,4)^T 和 (−4,3)T(-4,3)^T. 求它的逆矩阵 T−1T^{-1}.

答案 / 解析

由特征值的定义和性质可知, 如果 Tξi=λiξi,  (i=1,2)T\xi_i=\lambda_i\xi_i,\;(i=1,2), 则有 TP=PΛTP=P\Lambda, 这里 P=(ξ1,ξ2),  Λ=(1002)P=(\xi_1,\xi_2),\;\Lambda=\left(\begin{matrix}1&0\\0&2\end{matrix}\right).

T−1=(PΛP−1)−1=PΛ−1P−1=125(3−443)(1002−1)(34−43)=125(1766412)T^{-1}=(P\Lambda P^{-1})^{-1}=P\Lambda^{-1}P^{-1}=\frac1{25}\left(\begin{matrix}3&-4\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1&0\\0&2^{-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3&4\\-4&3\end{matrix}\right)=\frac1{25}\left(\begin{matrix}17&6\\6&\frac{41}2\end{matrix}\right)

(2)

已知 N=(1−23−45−67−89)=A+CN=\left(\begin{matrix}1&-2&3\\-4&5&-6\\7&-8&9\end{matrix}\right)=A+C, 其中 AT=AA^T=A, CT=−CC^T=-C. 求 CC.

答案 / 解析

A=12(N+NT)A=\frac12(N+N^T), C=12(N−NT)C=\frac12(N-N^T), C=12[(1−23−45−67−89)−(1−47−25−83−69)]=(01−2−1012−10)C=\frac12\left[\left(\begin{matrix}1&-2&3\\-4&5&-6\\7&-8&9\end{matrix}\right)-\left(\begin{matrix}1&-4&7\\-2&5&-8\\3&-6&9\end{matrix}\right)\right]=\left(\begin{matrix}0&1&-2\\-1&0&1\\2&-1&0\end{matrix}\right)

三 (12 分)

已知向量组 α1=(1,1,1,1)T\alpha_1=(1,1,1,1)^T, α2=(2,3,4,3)T\alpha_2=(2,3,4,3)^T, α3=(1,0,−1,0)T\alpha_3=(1,0,-1,0)^T, α4=(1,3,6,4)T\alpha_4=(1,3,6,4)^T, 求向量组 α1,α2,α3,α4\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4 的极大无关组, 并把不在该极大无关组中的向量用该极大线性无关组线性表示出来.

答案 / 解析
(1211130314−161304)→(121101−1202−2501−13)→(121101−1200010000)→(103001−1000010000)\left(\begin{matrix}1&2&1&1\\1&3&0&3\\1&4&-1&6\\1&3&0&4\end{matrix}\right) \rightarrow \left(\begin{matrix}1&2&1&1\\0&1&-1&2\\0&2&-2&5\\0&1&-1&3\end{matrix}\right) \rightarrow \left(\begin{matrix}1&2&1&1\\0&1&-1&2\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{matrix}\right) \rightarrow \left(\begin{matrix}1&0&3&0\\0&1&-1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{matrix}\right)

由此, 极大线性无关组为 α1, α2, α4\alpha_1,\,\alpha_2,\,\alpha_4, 且 α3=3α1−α2\alpha_3=3\alpha_1-\alpha_2.

四 (14 分)

当 a,ba,b 取什么值时, 方程组 {x1+x2+x3+x4+x5=13x1+2x2+x3+x4−3x5=ax2+2x3+2x4+6x5=35x1+4x2+3x3+3x4−x5=b\begin{cases}x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=1\\3x_1+2x_2+x_3+x_4-3x_5=a\\x_2+2x_3+2x_4+6x_5=3\\5x_1+4x_2+3x_3+3x_4-x_5=b\end{cases} 有解? 在有解的情形, 求方程组的通解.

答案 / 解析
(1111113211−3a0122635433−1b)→(10−1−1−5201226300000a00000b−2)\left(\begin{matrix}1&1&1&1&1&1\\3&2&1&1&-3&a\\0&1&2&2&6&3\\5&4&3&3&-1&b\end{matrix}\right) \rightarrow \left(\begin{matrix}1&0&-1&-1&-5&2\\0&1&2&2&6&3\\0&0&0&0&0&a\\0&0&0&0&0&b-2\end{matrix}\right)

所以当 a=0a=0 且 b=2b=2 时原方程组有解, 即

(1111113211−3a0122635433−1b)→(10−1−1−5−2012263000000000000)\left(\begin{matrix}1&1&1&1&1&1\\3&2&1&1&-3&a\\0&1&2&2&6&3\\5&4&3&3&-1&b\end{matrix}\right) \rightarrow \left(\begin{matrix}1&0&-1&-1&-5&-2\\0&1&2&2&6&3\\0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\end{matrix}\right)

与原方程组同解方程组:

{x1=−2+x3+x4+5x5x2=3−2x3−2x4−6x5\begin{cases}x_1=-2+x_3+x_4+5x_5\\x_2=3-2x_3-2x_4-6x_5\end{cases}

解得特解 η=(−2,3,0,0,0)T\eta=(-2,3,0,0,0)^T.

与导出组同解的线性方程组

{x1=x3+x4+5x5x2=−2x3−2x4−6x5\begin{cases}x_1=x_3+x_4+5x_5\\x_2=-2x_3-2x_4-6x_5\end{cases}

其基础解系为

{η1=(1,−2,1,0,0)T,η2=(1,−2,0,1,0)T,η3=(5,−6,0,0,1)T,\begin{cases}\eta_1=(1,-2,1,0,0)^T,\\\eta_2=(1,-2,0,1,0)^T,\\\eta_3=(5,-6,0,0,1)^T,\end{cases}

原方程组的通解为 x=η+k1η1+k2η2+k3η3x=\eta+k_1\eta_1+k_2\eta_2+k_3\eta_3, 其中 k1, k2, k3k_1,\,k_2,\,k_3 为任意常数.

五 (14 分)

(1)

已知矩阵 A=(1−1001−1−101)A=\left(\begin{matrix}1&-1&0\\0&1&-1\\-1&0&1\end{matrix}\right), 求矩阵 XX, 满足 AX=2X+AAX=2X+A.

答案 / 解析

由 AX=2X+AAX=2X+A 可得 (A−2E)X=A(A-2E)X=A, 于是有 X=(A−2E)−1AX=(A-2E)^{-1}A.

(A−2E∣A)=(−1−101−100−1−101−1−10−1−101)→(10001−1010−1010011−10)\left(A-2E\mid A\right)=\left(\begin{matrix}-1&-1&0&1&-1&0\\0&-1&-1&0&1&-1\\-1&0&-1&-1&0&1\end{matrix}\right) \rightarrow \left(\begin{matrix}1&0&0&0&1&-1\\0&1&0&-1&0&1\\0&0&1&1&-1&0\end{matrix}\right)

由此得 X=(01−1−1011−10)X=\left(\begin{matrix}0&1&-1\\-1&0&1\\1&-1&0\end{matrix}\right).

(2)

已知 nn 维非零向量 β=(a,0,…,0,a)T\beta=(a,0,\ldots,0,a)^T, B=E−ββTB=E-\beta\beta^T, D=E+1aββTD=E+\frac1a\beta\beta^T, 其中 EE 为单位矩阵, 若 BB 与 DD 互为逆矩阵, 求 aa.

答案 / 解析

BD=(E−ββT)(E+1aββT)=E−ββT+1aββT−1aββTββT=E+(−1−2a+1a)ββT=EBD=(E-\beta\beta^T)\left(E+\frac1a\beta\beta^T\right)=E-\beta\beta^T+\frac1a\beta\beta^T-\frac1a\beta\beta^T\beta\beta^T=E+\left(-1-2a+\frac1a\right)\beta\beta^T=E

所以 0=2a2+a−1=(2a−1)(a+1)0=2a^2+a-1=(2a-1)(a+1),

解得 a=−1a=-1 或 a=12a=\frac12.

六 (12 分)

已知矩阵 AA 满足: 对任意的 x1,x2,x3x_1,x_2,x_3, A(x1x2x3)=(x1+2x2+2x3x2+2x1+2x3x3+2x1+2x2)A\left(\begin{matrix}x_1\\x_2\\x_3\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}x_1+2x_2+2x_3\\x_2+2x_1+2x_3\\x_3+2x_1+2x_2\end{matrix}\right).

  1. 求 AA.

    答案 / 解析

    由题设可知 A=(122212221)A=\left(\begin{matrix}1&2&2\\2&1&2\\2&2&1\end{matrix}\right)

  2. 判断是否存在可逆矩阵 PP 与对角矩阵 Λ\Lambda, 使得 P−1AP=ΛP^{-1}AP=\Lambda. 如果存在, 求出 PP 与 Λ\Lambda.

    答案 / 解析

    AA 的特征多项式为 ∣λE−A∣=∣λ−1−2−2−2λ−1−2−2−2λ−1∣=(λ+1)2(λ−5)\left|\lambda E-A\right|=\left|\begin{matrix}\lambda-1&-2&-2\\-2&\lambda-1&-2\\-2&-2&\lambda-1\end{matrix}\right|=(\lambda+1)^2(\lambda-5)

    解得特征值为 λ1=λ2=−1, λ3=5\lambda_1=\lambda_2=-1,\,\lambda_3=5.

    特征向量为 (1,0,−1)T, (0,1,−1)T, (1,1,1)T(1,0,-1)^T,\,(0,1,-1)^T,\,(1,1,1)^T.

    令 P=(101011−1−1−1)P=\left(\begin{matrix}1&0&1\\0&1&1\\-1&-1&-1\end{matrix}\right), Λ=(−1000−10005)\Lambda=\left(\begin{matrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&5\end{matrix}\right), 则 P−1AP=ΛP^{-1}AP=\Lambda.

七 (8 分)

已知 AA 为 nn 阶正交矩阵, ∣A∣=−1\left|A\right|=-1. 求证 −1-1 是矩阵 AA 的特征值.

答案 / 解析

因为 AA 为 nn 阶正交矩阵, 所以 ATA=EA^TA=E.

再由 ∣A∣=−1\left|A\right|=-1 可得 ∣E+A∣=∣ATA+A∣=∣(AT+E)A∣=∣AT+E∣∣A∣=−∣AT+E∣=−∣(A+E)T∣=−∣A+E∣\left|E+A\right|=\left|A^TA+A\right|=\left|(A^T+E)A\right|=\left|A^T+E\right|\left|A\right|=-\left|A^T+E\right|=-\left|(A+E)^T\right|=-\left|A+E\right|.

所以 ∣E+A∣=0\left|E+A\right|=0, 即 ∣−E−A∣=0\left|-E-A\right|=0.

所以 −1-1 是矩阵 AA 的特征值.