无耗传输线中衰减常数𝛼为0。广义无耗传输线是不仅要考虑负载对传输线上电流和电压的影响，还需要考虑信号源内阻抗对传输线上电流和电压的影响。

入射波电压和反射波电压同相；$Z_{in} = \frac{Z_0}{K}$

二项式（最大平坦特性）多节阻抗变换器：带内平坦，带宽窄。切比雪夫（等波纹特性）多节阻抗变换器：带内等纹波，带宽宽。

阻抗参量，导纳参量，转移参量；（1 分）

$$\begin{cases} V_1 = Z_{11} I_1 + Z_{12} I_2 \\ V_2 = Z_{21} I_1 + Z_{22} I_2 \end{cases} \quad \begin{cases} I_1 = Y_{11} V_1 + Y_{12} V_2 \\ I_2 = Y_{21} V_1 + Y_{22} V_2 \end{cases} \quad \begin{cases} V_1 = A V_2 + B I_2 \\ I_1 = C V_2 + D I_2 \end{cases}$$

（3 分）

A矩阵电流参考方向不同，最后一个写成减号给分

$$\begin{cases} V_1 = A V_2 - B I_2 \\ I_1 = C V_2 - D I_2 \end{cases}$$

互易：$Z_{12} = Z_{21}; \quad Y_{12} = Y_{21}; \quad AD - BC = 1$

无耗：Z 参量全部为虚数；Y 参量全部为虚数；A、D 为实数，B、C 为虚数。

写对一点即 1 分。

（1）因为$Z_d = 0$，所以$Z_c' = \infty$，

$Z_c = Z_c' // Z_c'' = Z_1$；

$Z_b'' = \frac{4 Z_0^2}{Z_1}$，

$Z_b'' = \frac{Z_0^2}{Z_2} = 100\,\Omega \,$；

$Z_b = \frac{Z_b'}{Z_b''} = \frac{100Z_0^2}{Z_0^2 + 25Z_1}$，

且$Z_b = Z_0$，因此$Z_1 =100\,\Omega$。

（2）由于$Z_c = Z_1 = 2Z_0$，所以 bc 段为行波状态，驻波比$\rho_{bc} = 1$；

be段为行驻波，驻波比$\rho_{be} = 2$

cd 为驻波状态， $\rho_{cd} = \infty$。

（3）$\Gamma_e = \frac{Z_2 - Z_0}{Z_2 + Z_0} = -\frac{1}{3}$，所以$\Gamma_{be} = \Gamma_e e^{-j2\beta l} = - \frac{1}{3} e^{-j\frac{4\pi l}{\lambda}}$。

（1）$Z_b'' = \frac{Z_0^2}{Z_1} = 200\,\Omega$，

为了实现信号源匹配，$Z_b = Z_0 = {Z_b'} // {Z_b''}$，所以$Z_b' = 200\,\Omega$；

$Z_c = Z_b' = 200\,\Omega$；

为了设计$\frac{\lambda}{4}$阻抗变换器，通过并联支节使得$Z_d$为实数，

$Y_L = \frac{1}{Z_L} = \frac{1}{100} (1 - j)$，并联支节导纳值为$j0.01$，

并联支节长度为最小值为$l = 0.125\,\lambda$。$Z_d=100\,\Omega$

因此$Z_{01} = \sqrt{Z_c Z_d} = 141.4\,\Omega$；

（2）be 段传输线电压反射系数幅值$\left| \Gamma \right| = \left| \frac{Z_1 - Z_0}{Z_1 + Z_0} \right| = \frac{1}{3}$，驻波比$\rho = \frac{1 + |\Gamma|}{1 - |\Gamma|} = 2$；

信号源匹配，b点输入电压幅值为100V，e处为电压波节点，因此$U_e = 100 \times (1 - |\Gamma|) = \frac{200}{3}\, \text{V}$。

(a) 归一化负载阻抗$Z_L=0.6-j1.5$，确定其在史密斯圆图上的位置；

(b) 画出负载所在的等反射系数圆；

(c) 确定负载关于圆心的对称点，即归一化负载导纳的位置$y_L=0.22+j0.58$；

(d) 在等反射系数圆上沿顺时针旋转$0.05\,\lambda$到第一支节位置，得到$y_1' = 0.4 + j1.1$；

(e) 画出辅助圆；

(f) 第一支节位置沿等电导圆找到与辅助圆的两个交点，得到$y_1$的两个解($0.4-j0.2$和$0.4-j1.8$)；

(g) 第一支节归一化导纳值为$-j1.3$或$-j2.9$，取 $l_1$较小值$l_1=0.053\,\lambda$；

(h) 将该交点沿等反射系数圆顺时针旋转3/8，得到$y_2'=1.0+j3.2$；

(i) 沿等电导圆旋转到圆心，即实现匹配，$l_2=0.298\,\lambda$。

（1）解法一：

采用S参数端口平移方法：

中间T型网络的A参数为：

$$A_1 \cdot A_2 \cdot A_3 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ j & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 + j1 & 3 + j2 \\ j1 & 1 + j2 \end{bmatrix}$$

转换为S参数为：

$$S = \begin{bmatrix} 0.2459 - 0.2951i & 0.1639 - 0.1967i \\ 0.1639 - 0.1967i & 0.4426 - 0.1311i \end{bmatrix}$$

或

$$\begin{bmatrix} \frac{3}{5+j6} & \frac{2}{5+j6} \\ \frac{2}{5+j6} & \frac{3+j2}{5+j6} \end{bmatrix}$$

或

$$\frac{1}{\sqrt{61}} \begin{bmatrix} 3e^{-j50.19^\circ} & 2e^{-j50.19^\circ} \\ 2e^{-j50.19^\circ} & \sqrt{13}e^{-j16.5^\circ} \end{bmatrix}$$

①②端口可以看做T型网络向外分别平移$\frac{\beta \lambda}{8}$，$\frac{\beta \lambda}{16}$即$45^\circ$，$22.5^\circ$

因此，网络S参数为

$$\frac{1}{\sqrt{61}} \begin{bmatrix} 3e^{-j140.19^\circ} & 2e^{-j117.69^\circ} \\ 2e^{-j117.69^\circ} & \sqrt{13}e^{-j61.5^\circ} \end{bmatrix}$$

或

$$\begin{bmatrix} -0.2951 - 0.2459i & -0.1190 - 0.2267i \\ -0.1190 - 0.2267i & 0.2203 - 0.4057i \end{bmatrix}$$

解法二：采用A参数相乘

$$A = A_1 A_2 A_3 A_4 A_5 = \begin{bmatrix} \cos \frac{\pi}{4} & j \sin \frac{\pi}{4} \\ j \sin \frac{\pi}{4} & \cos \frac{\pi}{4} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ j & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \frac{\pi}{8} & j \sin \frac{\pi}{8} \\ j \sin \frac{\pi}{8} & \cos \frac{\pi}{8} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -0.8118 + 0.9239i & 0.3827 + 1.9598i \\ -2.0063 + 1.0360i & -1.1945 + 2.9958i \end{bmatrix}$$

将ABCD转为S得到

$$\frac{1}{\sqrt{61}} \begin{bmatrix} 3e^{-j140.19^\circ} & 2e^{-j117.69^\circ} \\ 2e^{-j117.69^\circ} & \sqrt{13}e^{-j61.5^\circ} \end{bmatrix}$$

或

$$\begin{bmatrix} -0.2951 - 0.2459i & -0.1190 - 0.2267i \\ -0.1190 - 0.2267i & 0.2203 - 0.4057i \end{bmatrix}$$

（2）$\Gamma_L = \frac{150 - 50}{150 + 50} = \frac{1}{2}$

可画信号流图求1端口的反射系数与S参数与负载处反射系数关系

$$\Gamma_{in} = S_{11} + \frac{S_{12}S_{21}\Gamma_{L}}{1 - S_{22}\Gamma_{L}}$$$$\Gamma_{in} = -0.308 - j0.213$$

（1）两列之间点乘不为零，不是无耗网络。

（2）

解法一：解析法

由题可知:

$\Gamma_2 = \frac{150 - 50}{150 + 50} = \frac{1}{2}$，$\Gamma_3 = \frac{30 - 50}{30 + 50} = -\frac{1}{4}$

$\Gamma_1 = \frac{b_1}{a_1}, \quad \Gamma_2 = \frac{a_2}{b_2}, \quad \Gamma_3 = \frac{a_3}{b_3}$

$b_1 = S_{11}a_1 + S_{12}a_2 + S_{13}a_3$ (1)

$b_2 = S_{21} \cdot a_1 + S_{23} \cdot a_3 = S_{21} \cdot a_1 + S_{23} \cdot b_3 \cdot \Gamma_3$ (2)

$b_3 = S_{32} \cdot a_2 = S_{32} \cdot \Gamma_2 \cdot b_2$ (3)

联立(2)(3)解得

$b_2 = S_{21} \cdot a_1 + S_{23} \cdot \Gamma_3 \cdot S_{32} \cdot \Gamma_2 \cdot b_2$

$\Rightarrow b_2 = \frac{S_{21} \cdot a_1}{1 - \Gamma_2 \Gamma_3 S_{23} \cdot S_{32}} = \frac{a_2}{\Gamma_2}$

$\Rightarrow \frac{a_2}{a_1} = \frac{S_{21} \cdot \Gamma_2}{1 - \Gamma_2 \Gamma_3 S_{23} \cdot S_{32}}$

$b_3 = S_{32} \Gamma_2 \cdot b_2 = S_{32} \cdot \Gamma_2 \cdot \frac{S_{21} \cdot a_1}{1 - \Gamma_2 \Gamma_3 S_{23} S_{32}} = \frac{a_3}{\Gamma_3}$

$\Rightarrow \frac{a_3}{a_1} = \frac{S_{32} \cdot S_{21} \cdot \Gamma_2 \cdot \Gamma_3}{1 - \Gamma_2 \Gamma_3 S_{23} \cdot S_{32}}$

$\Gamma_1 = \frac{b_1}{a_1} = S_{11} + S_{12} \cdot \frac{a_2}{a_1} + S_{13} \cdot \frac{a_3}{a_1}$

$= S_{11} + S_{12} \cdot \frac{S_{21} \cdot \Gamma_2}{1 - \Gamma_2 \Gamma_3 S_{23} \cdot S_{32}} + S_{13} \cdot \frac{S_{32} \cdot S_{21} \cdot \Gamma_2 \Gamma_3}{1 - \Gamma_2 \cdot \Gamma_3 S_{23} S_{32}}$

$\Gamma_1 = 0.0467 + 0.8804j$

解法二：信号流图

由S参数矩阵关系可以画出如下流图

$\Gamma_2 = \frac{150 - 50}{150 + 50} = \frac{1}{2}$，$\Gamma_3 = \frac{30 - 50}{30 + 50} = -\frac{1}{4}$

图片暂缺 23-24-1-微波工程基础-期末-解答7-1.svg

化简得到

图片暂缺 23-24-1-微波工程基础-期末-解答7-2.svg

$\Gamma_1 = S_{11} + S_{12} \cdot \frac{S_{21} \cdot \Gamma_2}{1 - \Gamma_2 \Gamma_3 S_{23} \cdot S_{32}} + S_{13} \cdot \frac{S_{32} \cdot S_{21} \cdot \Gamma_2 \Gamma_3}{1 - \Gamma_2 \cdot \Gamma_3 S_{23} S_{32}}$

$\Gamma_1 = 0.0467 + 0.8804j$