23-24-1-大学物理（下）-期末

一、填空题（每空 2 分）

一平面波振幅为 $A$ ，其波长为 $1\,\mathrm{m}$ ，波矢量位于 $x-y$ 平面内，与 $x$ 轴夹 $30^\circ$ 角，该平面波的复振幅（初相位设为 $0$ ）为。
将迈克尔孙干涉仪的 $M_2$ 反射镜移动 $0.233\,\mathrm{mm}$ ，观测区有 792 个条纹移动经过观测区的十字叉丝，入射光的波长是。
在黑白光栅的三个参数 $d$ （光栅常数）、 $a$ （缝宽度）、 $N$ （缝数）中，可以影响干涉图样。影响干涉谱线位置的参数是，影响谱线亮度的参数是，影响极小位置的参数是。
三个容器 A、B、C 中装有同种理想气体，其分子数密度之比为 $n_A:n_B:n_C=4:2:1$ ，方均根速率之比为 $\sqrt{\overline{v_A^2}}: \sqrt{\overline{v_B^2}}: \sqrt{\overline{v_C^2}}=1:2:4$ ，则其压强之比 $p_A:p_B:p_C=$ 。

某理想气体的三个准静态过程 1（定容）、2（定压）、3（绝热）如图所示，三个过程初态相同为 $i$ ，末态 $f$ 都在一条等温线上。则三个过程内能的变化（相同或不同）；三个过程中吸热从大到小依次为；如果规定气体对外界做功为正，则三个过程中气体对外界做功从大到小依次为。
物体 A 和物体 B 分别相对于地面沿相反方向以 $0.35c$ 的速度运动，则在相对于 B 静止的参照系看物体 A 的速度是。
证明电子具有波动性的重要实验有、和。
设钾原子外层电子处于 $l=2$ 的状态，则轨道角动量大小为，其轨道角动量在 $z$ 方向的投影的可能值是。

二（12分）

一个假想的分子速率分布如图所示， $F(v)=Cv^2,\;0<v\le v_0$ 和 $F(v)=0,\;v>v_0$ 。求：

以 $v_0$ 表达的 $C$ ；

答案 / 解析

由于分布函数归一化，

\int_0^{+\infty}F(v)\,\mathrm{d}v=1.

所以

\int_0^{v_0}Cv^2\,\mathrm{d}v=\frac{Cv_0^3}{3}=1,

从而

C=\frac{3}{v_0^3}.

因此

F(v)= \begin{cases} \frac{3v^2}{v_0^3}, & 0<v\le v_0, \\ 0, & v>v_0. \end{cases}

计算分子的平均速率和方均根速率。

答案 / 解析

\begin{aligned} \overline{v} &=\int_0^{+\infty}vF(v)\,\mathrm{d}v =\int_0^{v_0}Cv^3\,\mathrm{d}v =\frac{3v_0^4}{4v_0^3} =\frac{3v_0}{4}, \\ \overline{v^2} &=\int_0^{+\infty}v^2F(v)\,\mathrm{d}v =\int_0^{v_0}Cv^4\,\mathrm{d}v =\frac{3v_0^5}{5v_0^3} =\frac{3v_0^2}{5}, \\ \sqrt{\overline{v^2}} &=\sqrt{\frac35}\,v_0. \end{aligned}

三（12分）

一左旋圆偏振光相继通过一个波晶片和一个偏振片。波晶片由正晶体制成，其在快慢轴之间引入的光程差为 $(n_e-n_o)d=\frac{\lambda}{2}$ ；逆着光传播方向看，偏振片的透振方向是相对于波晶片光轴方向逆时针旋转 $30^\circ$ 得到的（注意晶体的光轴方向与晶体的快轴方向的异同）。设入射光光强为 $I_0$ 。求：

出射光光强；

答案 / 解析

入射是左旋圆偏振光，快轴相对于慢轴

\Delta\varphi_{\text{入}}=-\frac\pi2.

波晶片是二分之一波片，引入 $\pi$ 的相位差（快轴相对于慢轴），所以

\Delta\varphi_{\text{出}}=\Delta\varphi_{\text{入}}+\Delta\varphi_{\text{晶体}}=-\frac\pi2+\pi=\frac\pi2.

出射是右旋圆偏振光。

经过偏振片后，圆偏振光只能透过一半的光强：

I_{\text{出}}=\frac{I_0}{2}.

若入射光改为右旋圆偏振光，其他条件不变，出射光光强。

答案 / 解析

入射是右旋圆偏振光，快轴相对于慢轴

\Delta\varphi_{\text{入}}=\frac\pi2.

经过二分之一波片以后，

\Delta\varphi_{\text{出}}=\Delta\varphi_{\text{入}}+\Delta\varphi_{\text{晶体}}=\frac\pi2+\pi=\frac{3\pi}2.

出射为左旋圆偏振光。

再经过偏振片，也是只能透过一半的光强：

I_{\text{出}}=\frac{I_0}{2}.

四（12分）

4 摩尔理想气体经历了一个可逆等温膨胀，在温度为 $T=400\,\mathrm{K}$ 下体积从 $V$ 增加到 $2V$ 。求：

气体对外做功是多少？

答案 / 解析

根据理想气体状态方程 $pV=\nu RT$ ，气体对外做功

W_{\text{对外}}=\int_V^{2V}p\,\mathrm{d}V=\int_V^{2V}\frac{\nu RT}{V}\,\mathrm{d}V=\nu RT\ln2=9216\,\mathrm{J}.

熵变是多少？

答案 / 解析

\Delta S=\int \frac{\mathrm{d}Q}{T}=\frac1T\int \mathrm{d}W=23.0\,\mathrm{J/K}.

五（12分）

若在一惯性系 $S$ 中观察发生在同一地点的两事件，其发生的时间间隔为 $4.0\,\mathrm{s}$ ；从另一惯性系 $S'$ 中观察到这两事件的发生时间间隔为 $6.0\,\mathrm{s}$ 。设 $S'$ 相对于 $S$ 以恒定速度沿 $x$ 轴运动。求在 $S'$ 系中观察这两事件的空间间隔是多少？

答案 / 解析

$S$ 系中两事件在同一地点发生，所以 $4.0\,\mathrm{s}$ 是原时 $\Delta t_p$ 。

在 $S'$ 系中，时间间隔为

\Delta t'=6.0\,\mathrm{s}=\frac{\Delta t_p}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{4.0\,\mathrm{s}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}.

解得

v=\frac{\sqrt5}{3}c.

于是

\Delta x'=v\Delta t'=\frac{\sqrt5}{3}c\times6.0\,\mathrm{s}=13.4\times10^8\,\mathrm{m}.

六（10分）

氢原子莱曼线系中，试计算：

波长最短和最长的光谱线波长；

答案 / 解析

莱曼线系满足

\frac1{\lambda_m}=R_H\left(\frac1{1^2}-\frac1{m^2}\right),\quad m=2,3,4,\dots

所以最短波长

\begin{aligned} \frac1{\lambda_{\text{min}}}&=R_H\left(1-\frac1\infty\right)=R_H, \\ \lambda_{\text{min}}&=91\,\mathrm{nm}; \end{aligned}

最长波长

\begin{aligned} \frac1{\lambda_{\text{max}}}&=R_H\left(1-\frac1{2^2}\right)=\frac34R_H, \\ \lambda_{\text{max}}&=121\,\mathrm{nm}. \end{aligned}

它们属于紫外线、可见光，还是红外线？

答案 / 解析

$\lambda_{\text{min}}=91\,\mathrm{nm}$ 和 $\lambda_{\text{max}}=121\,\mathrm{nm}$ 都属于紫外线。

七（12分）

一个质量为 $m$ 的粒子在一维无限深势阱 $(0\le x\le a)$ 中运动，其定态波函数为

\Psi(x)=A\sin\frac{\pi x}{a}\cos\frac{\pi x}{a}

其中 $A$ 是待定常数。求：

该定态对应的能级能量是多少？

答案 / 解析

\Psi(x)=\frac{A}{2}\sin\frac{2\pi x}{a},\quad 0\le x\le a.

能级量子数为 $n=2$ ，所以

E_2=\frac{\pi^2\hbar^2n^2}{2ma^2}=\frac{2\pi^2\hbar^2}{ma^2}.

常数 $A$ 是多少？

答案 / 解析

根据归一化

\int_0^aA\sin\frac{\pi x}{a}\cos\frac{\pi x}{a}\,\mathrm{d}x=1.

解得

A=\sqrt{\frac8a}.