23-24-1-信号与系统-期中

一、填空题（每空 1 分，共 12 分）

$\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm e^{-t}\delta(t-3)\,\mathrm dt=$ 。
信号 $\sin(2t)$ 是（能量/功率）有限信号，其能量（或功率）为。
信号 $\operatorname{Sa}(t)=\frac{\sin t}{t}$ 是（奇函数/偶函数）， $\int_{0}^{+\infty}\operatorname{Sa}(t)\,\mathrm dt=$ 。
系统的全响应可分解为自由响应与强迫响应两部分响应之和，也可分解为响应及稳态响应两部分响应之和。
线性系统应该满足和。
冲激信号 $\delta(t)$ 的傅里叶变换为。
已知 $f(t)$ 傅里叶变换为 $F(\omega)$ ，则 $f'(t)$ 的傅里叶变换为。
有一线性时不变系统，当激励 $e_1(t)=\delta(t)$ 时，响应 $r_1(t)=2u(t)$ ，可以用一个和两个基本运算单元实现该系统。

二、填空题（每空 2 分，共 30 分）

对信号 $x_a(t)=\sin(100\pi t)$ 进行抽样，抽样频率为 $400\,\mathrm{Hz}$ ，抽样后得到序列 $x(n)=\left.x_a(t)\right|_{t=nT}$ , $x(n)$ 的周期为。
对于离散信号 $f(n)=2\sin\left(\frac{n\pi}{16}\right)+\cos\left(\frac{n\pi}8\right)-6\sin\left(\frac{n\pi}2+\frac\pi6\right)$ ，判断其是否为周期序列，若是周期序列试确定其基波周期 $N=$ 。（若为非周期序列，填不存在）
题图 2-3 所示为信号 $f(t)$ 的波形，则信号 $\int_{-\infty}^\infty\frac{\mathrm df(t)}{\mathrm dt}\,\mathrm dt=$ 。

已知 $x_1(n)=n\left[u(n)-u(n-4)\right]$ , $x_2(n)=\left(\frac12\right)^{n+1}u(n+1)$ ，则信号 $x_1(n)\cdot x_2(n)$ 包含的所有序列值之和为。
某一系统的输出信号为 $y(t)=9\cos^2\left(200t+\frac\pi6\right)$ ，该信号的直流分量为，交流分量为。
离散时间系统的方框图如题图 2-6 所示，该系统的差分方程式为。

已知某线性时不变系统的单位阶跃响应为 $g(t)=tu(t)$ ，则其冲激响应 $h(t)=$ 。
若 $s_1(t)=f(t)\otimes f(t)$ ，则 $f(t-1)\otimes f(t-2)=$ 。
某线性时不变复合系统如题图 2-9 所示，则该复合系统的冲激响应 $h(t)=$ 。

某线性离散时间系统的单位样值响应为 $y(n)=\left(\frac13\right)^nu(n)$ ，则该系统的单位阶跃响应为。
已知一线性时不变离散系统可以用差分方程表示 $y(n)-0.8y(n-1)=x(n)$ ，该系统是系统（稳定/不稳定）。
已知 $\cos(3t+\theta_1)$ 和 $\sin(3t+\theta_2)$ 在 $t\in\left[0,\frac23\pi\right]$ 正交，则 $\cos(\theta_1-\theta_2)=$ 。
若信号 $f(t)$ 的频带宽度为 $B$ ，则 $f(2t)$ 的频带宽度为。
某线性时不变系统的单位冲激响应为 $h(t)=\mathrm e^{-t}u(t)$ ，则该系统是（因果/非因果）系统。

三、计算画图题（10 分）

1.

已知信号 $x_1(t)=\sin(\omega_0t)$ ，该信号的周期为 $T=1\,\mathrm s$ ，请画出信号 $x_2(t)=x_1(t)\left[u(t)-u(t-T)\right]$ 的波形图。

答案 / 解析

2.

信号 $f(t)$ 的波形如题图 3 所示，画出信号 $f(-3t-2)$ 的波形图。

答案 / 解析

四、计算题（10 分）

某线性时不变系统在激励为 $e(t)$ 的零状态响应为 $r(t)$ ，波形如题图 4 所示。

求该线性时不变系统的冲激响应 $h(t)$ 。

答案 / 解析

\begin{align*} h(t)*e(t)={}&r(t)\\ h(t-\tau)\,\mathrm d\tau={}&r(t)\\ \int_0^th(t-\tau)\,\mathrm d\tau={}&r(t)\;(0\le t\le2) \end{align*}

等号两侧同时对 $t$ 求微分，则有 $h(t)=\frac{\mathrm dr(t)}{\mathrm dt}\;(0\le t\le2)$ ，

故 $h(t)=u(t)-u(t-1)$ 。

如果激励 $e(t)=u(t)-u(t-1)$ 作用于系统，利用卷积积分求此系统的零状态响应 $y(t)$ ，并画出响应 $y(t)$ 的波形。（若在 1 中求不出 $h(t)$ ，可以设 $h(t)=u(t)-u(t-1)$ ）。

答案 / 解析

$y(t)=e(t)*h(t)=\int_{-\infty}^t[u(\tau)-u(\tau-1)][u(t-\tau)-u(t-\tau-1)]\,\mathrm d\tau$

解得 $y(t)=\begin{cases}t,&0\le t\le1\\2-t,&1\le t\le2\end{cases}$ 。

五、计算题（10 分）

某离散时间系统的方框图如题图 5 所示，已知 $x(n)=a^nu(n),\;0<a<1$ ， $h_1(n)=\delta(n),\,h_2(n)=u(n)$ ，试求系统的零状态响应 $y(n)$ 。

求复合系统的单位样值响应 $h(n)$ 。

答案 / 解析

由图可知 $y(n)=x(n)*h_1(n)*[h_1(n)+h_2(n)]$ ，

当 $x(n)=\delta(n)$ 时，

\begin{align*}h(n)={}&\delta(n)*h_1(n)*[h_1(n)+h_2(n)]\\={}&h_1(n)*[\delta(n)+u(n)]\\={}&h_1(n)*\delta(n)+\delta(n)*u(n)\\={}&\delta(n)+u(n)\end{align*}

求系统的零状态响应 $y(n)$ 。

答案 / 解析

\begin{align*}y(n)={}&x(n)*h(n)\\={}&a^nu(n)*[\delta(n)+u(n)]\\={}&a^nu(n)+a^nu(n)*u(n)\\={}&a^nu(n)+\sum_{m=0}^\infty a^mu(m)u(n-m)\\={}&a^nu(n)+\sum_{m=0}^na^m\\={}&\left(a^n+\frac{1-a^{n+1}}{1-a}\right)u(n)\end{align*}

六、计算题（10 分）

已知某周期信号的傅里叶级数展开式为

f(t)=1-\frac12\cos\left(\frac\pi4t-\frac{2\pi}3\right)+\frac14\sin\left(\frac\pi3t-\frac\pi6\right)

画出信号的单边谱和双边谱。

答案 / 解析

$f(t)=1+\frac12\cos\left(\frac\pi4t+\frac\pi3\right)+\frac14\cos\left(\frac\pi3t-\frac{2\pi}3\right)$

单边谱

双边谱

七、计算题（10 分）

如题图 7 所示， $f_2(t)=f_1(t)*f_1(t),\,f_3(t)=f_2(t-2)$ 。

求 $F_1(\omega)$ 的表达式。

答案 / 解析

$F_1(\omega)=\int_{-\infty}^\infty f_1(t)\mathrm e^{-\mathrm j\omega t}\mathrm dt=2\operatorname{Sa}(\omega)$

求 $F_2(\omega)$ 的表达式（利用 $F_1(\omega)$ 表示）及其频带宽度。

答案 / 解析

$F[f_1(t)*f_1(t)]=F_1(\omega)F_1(\omega)=4\operatorname{Sa}^2(\omega)$

$B=\pi$

求 $F_3(\omega)$ 的表达式（利用 $F_2(\omega)$ 表示），并求出 $F_3(\omega)$ 的相位值。

答案 / 解析

因为 $F[f_2(t)]=4\operatorname{Sa}^2(\omega)$ ，

所以 $F[f_3(t)]=F[f_2(t-2)]=4\operatorname{Sa}^2(\omega)\mathrm e^{-2\mathrm j\omega}=F_2(\omega)\mathrm e^{-2\mathrm j\omega}$

因此 $\varphi(\omega)=-2\omega$ 。

八、上机实验题（8 分）

利用 MATLAB 或 Python 语言构造一个如题图 8 所示的离散正弦信号（横坐标单位均为秒）：

该离散信号的包络线所构成的模拟信号，其频率是多少 ( $\mathrm{Hz}$ )？

答案 / 解析

$T=0.001\,\mathrm s$ ，所以 $f=\frac1T=1000\,\mathrm{Hz}$

该离散信号的数字角频率是多少？

答案 / 解析

$f(n)=\sin\left(\frac14\pi n\right)$

所以 $\omega_d=\frac14\pi$

人耳是否能听到包络线所构成的模拟信号对应频率的振动信号？

答案 / 解析

可以