$$\begin{align} \lim_{x\rightarrow0}\frac{\mathrm{e}^x-\cos x-x}{\left(1+2x^2\right)^\frac13-1} ={}&\lim_{x\rightarrow0}\frac{1+x+\frac{x^2}{2}-1+\frac{x^2}2-x+o(x^2)}{1+\frac23x^2-1+o(x^2)}\\ ={}&\frac32 \end{align}$$

$$\begin{align} {}&\int\frac{\arctan x}{x^3}\,\mathrm{d}x\\ ={}&-\frac12\int\arctan x\,\mathrm{d}\frac1{x^2}\\ ={}&-\frac1{2x^2}\arctan x+\frac12\int\frac{\mathrm dx}{x^2(x^2+1)}\\ ={}&-\frac1{2x^2}\arctan x+\frac12\int\frac{\mathrm dx}{x^2}-\frac12\int\frac{\mathrm dx}{x^2+1}\\ ={}&-\frac1{2x^2}\arctan x-\frac1{2x}-\frac12\arctan x+C \end{align}$$

$\sin x-x\cos x=x-\frac1{3!}x^3-x(1-\frac1{2!}x^2)+o(x^3)=\frac13x^3+o(x^3)$,

所以 $a=\frac13$, $n=3$.

因为 $\frac{\sin x}{4-x^2}$ 是关于 $x$ 的奇函数, 所以在 $(-1,1)$ 内它的积分是 $0$.

那么原式就等于

$$\begin{align} \int_{-1}^1\frac1{4-x^2}\,\mathrm dx ={}&\frac14\int_{-1}^1\frac{\mathrm dx}{2-x}+\frac14\int_{-1}^1\frac{\mathrm dx}{2+x}\\ ={}&\frac14\left.\ln\frac{2+x}{2-x}\right|_{-1}^1\\ ={}&\frac12\ln3 \end{align}$$

等号两侧对 $x$ 求导,得

$$f'(x)=3f(x)+2\mathrm e^{2x}$$

该微分方程的通解为 $f_1(x)=C\mathrm e^{3x}$, 特解为 $f_0(x)=-2\mathrm e^{2x}$.

所以 $f(x)=C\mathrm e^{3x}-2\mathrm e^{2x}$.

再将其代入原方程中,解得 $C=3$.

综上所述, $f(x)=3\mathrm e^{3x}-2\mathrm e^{2x}$.

$p>1$时收敛；$0<p\le1$时发散

将原式分段积分, 即

$$\sum_{k=1}^n\int_{(k-1)\pi}^{k\pi}x\left|\sin x\right|\,\mathrm dx=\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}\int_{(k-1)\pi}^{k\pi}x\sin x\,\mathrm dx$$

而因为

$$\begin{align} \int_{(k-1)\pi}^{k\pi}x\sin x\,\mathrm{d}x ={}&-\int_{(k-1)\pi}^{k\pi}x\,\mathrm d\cos x\\ ={}&-\left.x\cos x\right|_{(k-1)\pi}^{k\pi}+\int_{(k-1)\pi}^{k\pi}\cos x\,\mathrm dx\\ ={}&-k\pi(-1)^k+(k-1)\pi(-1)^{k-1}\\ ={}&(2k-1)\pi(-1)^{k-1} \end{align}$$

所以 $I=\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}(-1)^{k-1}(2k-1)\pi=n^2\pi$.

$$y'=\frac{2(1-x)}{(x^2-2x+4)^2}$$

令$y'=0$,解得$x=1$.

$x<1, y'>0$，单调增区间$( -\infty,1)$;

$x>1, y'<0$，单调减区间$(1,+\infty)$;

$x=1$时，极大值$y=\frac12$,无极小值；

$$y''=\frac{6x(x-2)}{(x^2-2x+4)^3}$$

令,$y''=0$,解得$x=0,x=2$.

$x<0,x>2$时，$y''>0$, 凹区间为$(-\infty,0),(2,+\infty)$;

$0<x<2$时，$y''<0$, 凸区间为$(0,2)$;

解得拐点为$(0,\frac14)$和$(2,\frac14)$。

为了求出它的特解, 我们首先将该微分方程分解为两部分:

$$y''+2y'+2y=x\mathrm e^x \text{ 及 } y''+2y'+2y=x$$

对于第一个方程, 设 $y_1=(Ax+B)\mathrm e^x$, 通过待定系数解得 $y_1=(\frac15 x-\frac4{25})\mathrm e^x$;

对于第二个方程, 设 $y_2=Dx+E$, 通过待定系数解得 $y_2=x-2$.

所以原微分方程的特解为 $y_0=(\frac15x-\frac4{25})\mathrm e^x+x-2$.

特征方程为 $r^2+2r+2=0$ 解得一对复根 $r=1\pm\mathrm i$, 所以对应齐次微分方程的通解为 $y^*=(C_1\cos x+C_2\sin x)\mathrm e^{-x}$.

综上所述, 原微分方程的通解为 $y=(C_1\cos x+C_2\sin x)\mathrm e^{-x}+(\frac15x-\frac4{25})\mathrm e^x+x-2$.

(1)联立两曲线：

$$\begin{cases} y=ax^2\\ y=1-x^2 \end{cases}$$

解得 $A(\frac1{\sqrt{a+1}}, \frac1{a+1})$

面积:

$$S=\frac12\cdot\frac1{\sqrt{a+1}}\cdot\frac{a}{a+1} - \int_{0}^{\frac1{\sqrt{a+1}}} ax^2\,\mathrm{d}x$$

计算出 $S=\frac{a}{6(a+1)^\frac32}$

(2)体积:

$$V=\frac13\cdot\pi(\frac{a}{a+1})^2\cdot\frac1{\sqrt{a+1}}-\pi\int_{0}^{\frac1{\sqrt{a+1}}} (ax^2)^2\,\mathrm{d}x$$

化简得：

$$V(a)=\frac{2\pi{a^2}}{15(a+1)^\frac52}$$

对体积表达式求导：

$$V'(a)=\frac{\pi{a}(4-a)}{15(a+1)^\frac72}$$

令$V'(a)=0$,得$a=4$.

当$0<a<4$时，$V'(a)>0,V(a)$单调递增；

当$a>4$时，$V'(a)<0,V(a)$单调递减。

故当$a=4$时，旋转体体积最大。